标题: 基本概率，了解赌的数学。 [打印本页] 作者: 天策传媒 时间: 2008-7-8 00:09 标题: 基本概率，了解赌的数学。 了解机率和或然率 # Y1 S& j! T, k9 E4 j
概率，也就是机率，机率是属于数学中或然率的一部分。或然率可用於我们生活中的每个部分： . I Q( \9 k; i h4 W0 z天气、科学、商业、保险、股票药学等。明天会下雨吗？男人平均能活多久？医生，我有多少机会？它合用范围很广，这个在数学中重要的一环，和DB及对DB的分析息息相关。 , W) ~3 `! K2 q& L
! K6 i& y1 n' e" ~0 C; ` 一堂速成的或然率课程 7 }, h7 b( P t0 l( ]
那么，什么是或然率？它是对机会规则的研究。大部分的人都很熟悉它的基本概念－－或然率可以用来衡量一件事多常发生，或者更精确地说，可以期望它发生。虽然有些或然率专家们试著做统计，卻始终无法肯定；地球被小行星撞击的机率，或者一个小孩长大后成为百万富翁或奥运选手的机率。然而，其他的机率，包括DB中的机率，因为涉及的是我们知道全部结果的机制，因此可以准確地预测它的或然率。如果你丢一个普通的铜板，你掷岀正反两面的机率是一致的。丢铜板有两种结果，因此你丢岀正面的机率是1/2－－每两次你有一次丢岀正面的机会。 : E& t* G& H# b! J/ j9 U
所以，机率对一特定事件（我们称之为X）的发生来说也是一样的。它把X可能发生的数目，和所有可能发生的总数（我们称之为Y）相比。可以这样来表示机率－－写成P(X) ,读成「X发生的机率」－－可以比率或分数的方式表达之。 $ J% Q C% w$ P& N& x! o sP(X)=获得X结果的数目/所有可能的结果(或Y) 7 E! p0 l" b' K- J# f ^2 W3 l所以，在一副标准的52张牌中，抽中一点的机率是： T% x3 K( ~9 m! [: Z2 z P(拿到一点的机率)= 一点的牌数/所有的牌数 * r" O z! K- M
= 4/52 $ w0 W! n7 s* b3 d3 ?8 V1 t# I# y: L =1/13 6 b7 L* r3 @% N7 H( v% `% W% w# a) E# R/ u2 L $ C# m, n; N; i; A 其他任何一种机率的表达方式 ( J) w' @9 K J, |' ?# V0 d# S0 E) v机率有许多表达方式。虽然它们所指的都是同一个东西，但是在不同的情形下，某一种形式可能会比其他的来得方便。我们就来看看在52张牌中拿到梅花的机率。 * n- U% n. p! F8 PP(拿到一张梅花）=梅花的牌数/所有的牌数 ( D0 e5 U/ s, ?; N- a5 _ =13/52 ; i7 x8 ?+ ^0 ?
=1/4 + o& C9 v; e# e- o
首先你要注意的是，13/52这个分数应该化简成1/4。一个简化过的、较为简单的形式通常看起来会比较顺眼，也比较有意义。如果你在书中看到一个机率，没办法一看就有感觉，那么很可能你必须先化简它。 " n, n: n& y6 t3 a
让我们来看看几种拿到梅花的机率的方式。我们可以用小数的方式，0.25来表示四次中有一次的机会，或是说有25%的机会拿到梅花。 7 n3 Z$ X; ^) e0 _! ^! v; ^/ f
当人们说机率是50-50，他们指的就是两次中有一次的机会，也就是有50%的机会会出现这种情形，而有50%的机会不会出现。表示机率的时候，有时候我们用分数，有时候用小数，而有时候用百分比。 ! K7 k; S# Y; R+ `! J4 V) L表达某一事件机率的不同方法 ; z. }7 [. m" t: ?9 j6 e1）事件 抽到梅花 6 O5 U) }4 D- g. h, D3 ]
2）敘述 梅花的牌数/总牌数 6 O( z, X0 H% A9 R1 x
3）分数 13/52=1/4 4 X) ^ h3 s* [: b& Z2 m; Q( s
4）小数 0.25 3 Q7 _8 b; N. ?7 @5）百分比 25%（小数X100) ) U5 Z% r& v7 y; r( O6）发生率 四次中有一次 9 z. q5 v# I! z( {: k3 r
7）比 3：1 $ V, ?- t+ I& b" s2 ]. k" O* z; S' M4 k% V1 Q4 _ 基本机率法则 ( [: d, U- n4 m" R4 x- D: G
如果你能了解以下的规则，那么就不难理解大部分对DB的解释和分析。 ) o" X) J! A! T! H3 _1 {1 M( f) ?0 h(1)任一事件发生的机率必介於0和1之间 : O) D' }* h/ y% N; W U当机率为0时，表示该事件不可能发生;例如：用一个正常的六面骰子掷出7点的机率，这是绝对不可能发生的。 3 ?# G2 c) {6 U
当机率为1时，该事件百分之百会发生;例如，用一个正常的骰子，掷出1到6点的机率即为1(当然扣除骰子边沿著地的机会)。 , T3 n+ u2 \$ Y3 o机率永远不会有负数－－0（表示该事件不可能发生），小於0的数字不具任何意义。 , `( A/ l! V; [) M0 p+ C7 h3 M(2)一件事会发生和不会发生的机率总和为1 " ~) h6 b3 V, ^ x为什么呢？因为所有结果加起来的机率一定是1(100%)－－不管是不是你要的结果，一定有事会发生。 }3 K. Y$ @: s
例如:用骰子掷出2的机率为1/6，加上掷出不是2的机率为5/6－－总和即为1(1/6+5/6=1)。这看起来很理所当然，但是当我们间接推算机率的时候，这可是相当好用的方法。举例说，你想要知道在一副正常的52张牌中，抽中梅花的机率是多少。但是你並不了解整副牌的组成元素。你只知道抽中非梅花的牌的机是3/4。其实知道这样就够了。 3 {( y7 w) \! R& p
P(抽中梅花的机率)=1-P(抽中非梅花的机率) 1 e8 P% q# i- O# R
=1-3/4 l/ w- a9 R" q) y
=1/4 $ _8 d2 F! t x" G; b
8 B( J- v! f( f3 \- K6 C( v8 l (3)连续事件发生的机率等於各独立事件机率的积 ! I; |* U6 ]& b+ c
是的，这听起来很复杂，但是你或许已经很熟悉这个规则的运用方式了。这么说吧！假设你想要计算连续丢出两个1点的机率好了，丢一次骰子获得1点的机率是1/6(共有六种可能的结果，只有一种是你想要的)，而掷出两次1点的机率为:1/6X1/6=1/36。每次掷骰子都是「独立事件」(两者互相无关)，而发生这种「连续事件」(丢出两次1点)的机率即为二独立事件(1/6)的积(即相乘的结果)。因此，这连续事件並不一定是要同一颗骰子丢两次才行，如果同时丢两颗骰子，也可以构成连续事件－－因为两事件各自独立。 9 _' u# s$ W: m再举另一个例子：你同时丢一颗骰子跟铜板。那么，你丢出铜板正面且骰子为1点的机率为何？此为二独立事件，该事件的机率即为两独立事件的积。丢出铜板的机率是1/2，而丢出骰子1点的机率是1/6。因此发生此事的机率为1/2X1/6=1/12。 ( t/ N, A1 m3 {; O: j8 s r. Q$ z
, a8 M' U* d! s9 k( r(4)两非独立事件发生的机率亦为两者的积，然而，当事件发生时，后发生的事件会受到先发生事件的影响。 ; j! E$ L8 p- y1 w8 a* Q
这又是个令人困惑的说明，但是如果举个例来说就很清楚。例如:你想算在一副牌牌中，连续抽中三张梅花的机率。它的机率为13/52(52张牌中有13张梅花)X12/51（一张梅花－－一张牌已被抽走了)X11/50(两张梅花－－两张牌已经被抽走了)=0.0013或是1.3%。如果你在每次抽完又把牌再放回去，那就变成独立事件，抽到三张梅花的机率13/52X13/52X13/52=0.16或1.6%。 + x! B$ j* Y! n: f4 i1 J: y& { * ^, N. d c3 n7 @$ T# Y; b经典的机率实例 ( ]7 ^ X* k5 i; R
即然我们已经了解机率的基本概念（不是吗？）我们就来看一个经典的机率实例，让它告诉我们现代机率理论是从何起源的。 d3 a7 n1 k. a F. e, [! ]
在十七世纪，一位名为薛瓦里耶。德美尔（Chevalier de Mere)的法国贵族，他是一个用骰子来赚钱的骗子，他跟对方下同等金额的注，赌说掷4次骰子，至少有一次会出现6点。他的理由如下： & i7 [$ K! n+ W: FP(6)=1/6 . ^5 p% V+ N" {6 ?& l# _3 r RP(6)=掷4次的机率=4X1/6=2/3 ; Q' M5 [0 d2 x4 k2 c
他的这种赌法赢了不少钱。虽说他的推理是错的－－我们等一下很快就会看到－－但是他还是佔有优势。（你已经知道他为什么错了吗？） ) l" Y: g/ f- o4 w! J0 [, P当玩这种游戏的受骗者变少后，薛瓦里耶开始改玩另一种赌注。他也是用同等赌金，打赌在掷两颗骰子24次时，至少会出现一次两个6点。他的推理如下： , j4 r$ {+ V0 T9 I* g; S% E
P(6,6)=1/36 9 R$ q6 x9 I1 H# [- WP(6,掷24次中出现6的机率)=24x1/36=2/3 & U8 I! V+ ^ X* i但令他惊讶的是，他开始输钱了。所以他就问他的朋友－－数学天才巴斯卡，为什么会发生之种事？巴斯卡觉得相当有意思，就问另一位数学天才德佛美。他们的想法一致，因次就創造出现代机率理论。（而我们竟要感谢一位骗子的老祖宗！）让我们来看看他们研究薛瓦里耶的问题的结果。 5 Y: Y/ `* {+ P1 r* T7 O4 M在第一个例子中，我们知道 在任一个骰子中，掷出6点的机率是1/6。但是，解决这个问题的真正方法，是要算没有丢出6点的机率是多少？很自然地，它就是5/6。所以，如果薛瓦里耶想知道真正的结果，他得知道 掷4次骰子时，没丢出6的机率。每次掷都是独立事件，请用上次提到计算独立事件机率公式，我们就会得到以下的结果： + G/ m- S" o2 z- s7 g) L& c
P(4次中没有掷出6点)=5/6x5/6x5/6x5/6=0.482 * s! E9 z: ?) u7 Q6 T0 k8 z这表示有48.2%的机率不会丢出6点，因此薛瓦里耶算错了那个赌注。现在要算至少丢出一个6点的机率就很容易了。记得，有些结果一定会发生，那就是为什么我们用1减掉0.482。 " d! y+ Z* ]1 `) d- f WP(掷4次骰子出现一次6点)=1-P(掷4次没出现6点的机率) & ^( U3 B! c, F) ]+ M' ^1 y" o
=1-0.482 / d! u& X6 l8 i1 C% e! Z =0.518 ( }: E2 K5 a8 N( B3 b. Q7 l$ g& P! o所以，薛瓦里耶有51.8%的机率赢他的同等金额赌注，这就是为什么他能赚钱的原因，虽然机率不是他想的2/3。用倒回去的方式解决这个问题，虽然似乎和直觉相反，但实际上是比较容易算的。 2 ^! L! v$ P; k
薛瓦里耶最初的理由也是站不住脚的，如果我们再往下看一个步骤，用他错误的方法：如果掷6次骰子，掷骰子的人必定会丢出一次6点。很显然这是错的，也让我们知道为什么要算没发生该事件的机率是合理的。 7 a6 y* f' o1 B' r4 Z 现在让我们看看薛瓦里耶输的那个游戏：他想知道 在掷出24次骰子中，同时出现两个6点的机率为什么不是24/36。同样的，算出不出现的机率也是比较容易的： ) u* a/ N2 S+ i) y P(掷出24次骰子没掷出12点的机率)=(35/36)＾24 7 s, ~* f; j3 x# s3 @8 O0 } =0.509 8 |- o" ^% l0 ?# u- }
因此： & Q% ~& m4 k" N/ }5 ?9 L+ W P(掷出24次出现一次12)=1-P(掷24次骰子没掷出12点的机率) 1 u! s2 @) v$ Z. p. C( m
=1-0.509 3 w* ?1 q. n1 g
=0.491 6 u8 w+ y$ P. R
$ J3 E; ~+ k3 I/ N+ s9 k
啊哈！薛瓦里耶在第二种游戏中的机率只有0.491,也就是只有49.1%得胜，那就是为什么他会在这个相同赌注的游戏里输的原因，老千反被老千误，但是他真的很幸运，因为有当时最历害的几位数学家帮他解围。 + R, p X3 _2 C; v' L5 s
( i8 S4 Q( S2 ^4 w d. K: U一旦我们了解到一件事发生的机率，下一步就是想到该事件发生的「比」。如果说机率所描述的是一椿希望发生的事件与所有事件间的关系，则比所描述的则是希望发生的事件与不希望发生的事件间的关系。 1 ?/ f2 J0 n" j& M5 f就传统而言，比通常被认为是「不发生」该事件的比。这或许是你在进DC玩任何游戏时，最先想知道的吧！ ' q' Y; w3 L% i& R
让我们再拿梅花的例子来说，我们知道它的机率是1/4;四次当中有一次成功的机会，有三次失败的机会，因此，该事件（抽到梅花）真正的比是3（失败的机率）比1（成功的机率）。或许这时候你会皱眉头想一下，「但是一副牌不是有52张吗？3比1的真正意思是什么？」好的，说3比1等於是说39（非梅花的张数）比13（梅花的张数），分数巳被化简过了。 7 U1 a8 u- R1 F* Y; l% `4 n' ]- g当你丢一颗骰子，希望丢出2。丢出2的机率是1/6。比率是5比1;这也可以写成5-1。要了解「A-B」等於是说「A比B」。 * o' a3 o O. c Z/ p0 M. B; u2 U