21点：赌场里最可能赢钱的游戏(转）

           小时候人人都有一个赌神梦。长大了我们才知道，哪有逢赌必赢，都是十赌九输。


0 h" O8 w  n, ^( S5 d想想也是，都赢庄家吃什么。要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错，那里的游
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戏没哪个玩家胜率过了 50%。即便如此，依然总有那么几个人，可以赚的盆满钵
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满。他们是职业赌徒，以 21 点（Blackjack）为核心业务。

; n! [5 i: G! `21 点是赌场里最可能赢钱的游戏，也是那里唯一相对公平的游戏，在采取最佳玩法

5 l" Z5 x% X% U6 X9 j/ u) p- x的情况下，玩家胜率高达 49%。不过要想长期赢钱，这 2% 的劣势也无法容忍，高

0 D/ c9 ]! {# E  q; m6 l端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。

21点怎么玩
虽然各种电影里常有 21 点的场景，但它毕竟只在赌场里流行，实际玩过的人不多，
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让我们先来介绍一下 21 点的玩法。
6 J4 C' D, A" M3 ~
这个游戏分庄、玩两方，通常庄家在一张半圆形的牌桌上同时应付各自为战的 5 到
, S7 K  d6 E; w, G' v7 M" }
  e) @* N+ ?! U' ~ 7 个玩家，道具就是多副除去大小鬼混在一起的扑克牌。玩家的目标是让自己牌的

点数和大于庄家，不过这个和如果超过 21 点就直接出局了（也就是爆了）。花牌

. _1 @- ~) i* K0 ^& z% ^2 ~" p算 10 点，A可以根据需要算成 11 分或 1 分。
1 o: a/ [3 j4 a5 x# o
首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家
( N* i9 h) p4 ]( ?& l* e, X8 Y# _
! e+ n/ L, ^7 R# l7 e+ O/ s  x0 ]可以选择：

( d: f4 \2 W( y3 H● 拿一张牌（Hit）
  o! S/ t0 h2 G3 r8 r# M/ ~( G$ K
. ~8 I3 g+ }1 S+ @7 n: K$ P, }2 I● 结束拿牌（Stand）

● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）

- F% I% A( L, S● 如果拿到的两张牌相同，玩家可把这两张牌分开，压上另一份同样的赌注，并从

庄家处获得另外两张牌，相当于一次同时玩两局（Split）

: Z/ o" M5 {6 J% A% ~4 I$ Z● 认输，投降输一半并开始下一局（Surrender）
1 E8 L0 j- Y' L+ V7 Q
& y7 Q$ {9 G/ Q! n要注意的是，其中Double、Split、Surrender只能在第一回合选择。有的赌场允许
4 L8 a; |6 s# q$ j, U
& N" B+ o2 u2 U. W; u1 V% K Split 之后 Double或者继续 Split，有的赌场则不允许 Surrender。
! }( Z! i. }: b5 t# p9 M
当所有玩家都结束拿牌后，庄家翻开首回合盖住的牌， 如果点数和小于17就拿牌，

: d! `8 z3 D7 J, Q! V7 D直到点数和大于等于17 ，庄家不 Double、 Split 或者Surrender。如果庄家爆牌，
% z* J& }* Q" s9 }6 J
  w& ]9 \* t  l( m/ S# H* G+ L所有玩家都获胜。如果庄家没有爆，比庄家点数多的玩家获胜，点数相同的话为
* E# x, o' A# l% `3 v0 W6 h
平局，点数少就输了。
, s! d0 Z+ W0 f
* X  K( z* O; W$ F) ^4 |当然 21 点还有一些特殊的规则比如保险（Insurance）和Blackjack（拿到一张A
+ ^* g7 _! Y5 E/ c( T: Q
和一张10点的牌），这里就不赘述了。


高端赌徒如何要牌

; h+ U: {+ Z7 J% C6 T( z可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明，
2 V$ A# b% x) e" n& ~
最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什

么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。


上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄
; }. a2 K" \4 S8 \8 X9 Q
: I! g+ h, F8 t; `% f  }0 t) d家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前
$ ?' V( l$ u0 @; ]5 w) f# _
9 x& e- _4 R3 O& _" q( `1 w3 y! f手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的
" Q7 `& H. l5 B  K  n' ?: V$ Y6 r. L2 n
话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。
# q: y+ V- W$ v* d/ Z: \( o2 B9 u
( B8 e& B* m' {4 u3 Y3 M剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand，
; K5 R- w! Q8 d4 V2 C" t$ b* r
' C% u; p: x( b) k" E P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double
% O" O# V# C7 l7 t: Q' @$ q1 E% g
（如果规则不允许就Stand）。
, M* e# H+ r) g! m, _( q0 `, P9 V
仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很

) v& R0 t7 F$ S) h有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4

3 B  q+ f0 y) u( @) k到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。

/ F7 w- R7 g8 v; x2 f为什么会这样？什么时候要牌什么时候不要，概率说了算。不妨让我们先
+ y& D- v: S! B
来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于

1 }* l( U9 h, T4 X: p 17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。

7 l$ f6 U: _3 N+ P% s9 A如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽

到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），

设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：
9 d) @7 h6 A- o) S& e# v5 L2 b8 Y
F(H16) = 8/13 = 0.61538

当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况：

F(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580
2 i2 M" X% |: g# G+ L
同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所
4 }  F# A% G( J. T, a
) w$ Z% E  p. q' G不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出

H2—H5 的情况。
: \! w5 i( |' V$ C1 q
那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：

4 ~4 k4 J, h  m  |; r: [4 z玩家没爆但是庄家爆牌
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. U- C  Y( z6 K$ T* O8 q  g玩家和庄家都没爆但庄家点数小
' l$ W; r  t2 y7 g  G: Y
爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌

, d$ d: e$ c$ X为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。

) Y- l7 z9 ]. C4 L如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：

) g. J; D8 o7 ?) cG(H3) = 1/13×G(H2) = 0.07692

2 @+ R# s% ?" g/ S2 W3 }! I; O类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。

% T! G& i; M5 e7 k& @在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：
$ Z% S, M$ [$ Q8 e9 k2 M! s
玩家拿到21点，庄家拿到20~17点
/ X  ~5 g. ]7 G7 X0 g
玩家拿到20点，庄家拿到19~17点

玩家拿到19点，庄家拿到18和17点
# c, V0 m/ \/ e6 o
6 J8 M. d7 \4 R5 B0 _! d. X玩家拿到18点，庄家拿到17点

. u7 k0 F% w$ Q5 y8 I1 J  [" @玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，
  _' [% G& p5 @! Y% j
4 }9 z# ]4 v, h  C* N- M8 O因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的

概率为：
! Q6 K1 `8 N/ L8 ~8 u1 }
) S7 [* q% t! aP4 = G（H8）×G（17）

8 p3 ]% T2 N0 n8 f8 @$ v6 o+ }同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为
8 ~' T; x. \0 d
. z; \4 L/ ^3 n1 j 2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：
- S: }+ p# N4 Z% J0 W. s
6 |; Z3 |; Z: w! C/ j: _P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958

前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831

P(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。

0 y: I. t4 Z3 z( z" r* F* Z

! N+ X& W, @7 X1 y

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