投资组合的熵理论

从掷硬币打赌看投资组合问题
$ {. n4 U2 K5 [+ S－－漫谈投资组合的几何增值理论 (1)
　
什麽是投资组合？首先我们从掷硬币打赌谈起。
假设有一种可以不断重複的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同； 出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。现在问怎样重複下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?
我们可以像小孩子玩登山棋那样，几个人下不同的赌注，然后重複掷硬币，看谁最先变成百万富翁。你可能为了尽快地变为百万富翁而全部押上你的资金。可是只要有一次你输了，你就变成穷光蛋，并且永远失去发财机会。你可能每次下注10 元。但是，如果连输10次，你就完了。再说，如果你已经是万元户了，下10元是不是太少了? 每次将你的所有资金的10%用来下注，这也许是个不错的主意。首先，你永远不会亏完假设下注的资金可以无限小； 第二，长此以往，赢亏的次数大致相等时，你总是赚的。假设平均两次，你输一次赢一次，则你的资金会变为原来的(1+0.2) ×(1-0.1)=1.08倍。可是，以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了，太急人了? 有没有更快的方法? 有! 理论研究表明，每次将你所有资金的25%或0.25倍用来下注，你变为百万富翁的平均速度将最快。
! t# ^# |8 C8 I) @几个不同下注比例带来的资金变化如图 1所示(掷币结果分别是A, B, A, B, ...)。实验表明，张大胆每次投100％，嬴时嬴得多，可亏时亏得惨，一次亏损就永远被淘汰出局。李煳涂每次下50％，收益大起大落，到头来白忙。王保守每次下10％，稳赚但少赚；「你」每次下25％，长期看结果最好。
, a3 B3 p+ o4 d* V) S4 F8 J
3 P! r2 ?+ C6 c* y
! j! P. p% y8 z# \8 {1 _图 1 资金增值随几种不同投资比例的变化
1 k! y- i7 `& T2 D; K: G) k　
前面的打赌中，硬币只有一个。 如果同时有两个、三个或更多，各个硬币盈亏幅度不同，两面出现的概率（频率或可能性）也可能不同；怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现A面B面是不同程度相关的(比如一个出A面，另一个十有八九相同--正相关，或相反－－反相关)，又如何确定最优下注比例？股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资象掷硬币打赌一样，收益是不确定的且相互关联的。 如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要解决的问题。
5 q6 v! h4 q$ _: H6 }, \' u. M投资组合也就是英文说的 portfolio。当今世界上着名的投资组合理论是美国的马科维茨(H. Markowitz)理论。笔者则从自己建立的一个广义信息理论(参见专着《广义信息论》，天朝科技大学出版社，1993)和自己的投资实践出发，得到了投资组合的几何增值理论，或者叫熵(shang)理论（因为其中採用了同物理学和信息论中的熵函数相似的熵函数作为优化标准）， 并完成了专着《投资组合的熵理论和信息价值--兼析股票期货等风险控制》（天朝科技大学出版社，1997)。现在笔者知道美国的H. A. Latane 和D. L. Tuttle最早提出了用几何平均产出比--即1+几何平均收益或平均复利--作为优化证券组合的准则；后来T. E. Cover等人研究了用几何平均产出比的对数作为优化准则. 最近有人提出也是信息论研究者Kelly曾提出过这一准则。不同的是，笔者的研究更注重应用。具体说来：1）结合打赌模型讨论了分散和相关问题；提供了各种複杂情况下（考虑手续费， 卖空，透支，银行利率等）的最优投资比例公式；2）提出一些适用结论：比如分散投资极限定理，投资容量，新的风险测度.

马科维茨理论及其缺陷
--漫谈投资组合的几何增值理论(2)
　
. u3 \7 e+ X3 Q( W3 }7 X7 M1952年，马科维茨发表了《有家证券的选择：有效的转移》。这篇开创性的论文导致了一个新理论－－投资组合理论－－的诞生。1990年，瑞典皇家科学院将诺贝尔经济学奖授予了H. 马科维茨，W. 夏普(Shape) 和W. 米勒(Miller), 以表彰它们在投资组合和证券市场理论上的贡献。
6 m; }* U" J2 e$ a马科维茨用收益的期望 E和标准方差d表示一种证券的投资价值和风险。期望收益也就是算术平均收益。收益的标准方差d反映了收益的不确定性。比如对于上一节谈到的掷硬币打赌(亏时亏一倍，嬴时嬴两倍)，用全部资金下注时，
E=P1 r1+P2 r2 =0.5×(-1)+0.5×2=0.5
d=[P1( r1-E)2+P2( r2-E)2]0. 5=[0.5(-1-0.5)2+0.5(2-0.5)2]0.5=1.5
* Q/ a" M: Q5 K( q0 _$ s# b　
, l/ `  z+ f& p- e上式中 P1=0.5和r1= -1是亏钱的概率和幅度，P2=0.5和r2=2是嬴钱的概率和幅度。根据马科维茨理论，期望越大越好，而标准方差越小越好。标准方差反映了收益的不确定性或投资风险。至于两种证券或两种组合，一个比另一个期望收益大，标准方差也大，那麽选择哪一个好呢？马科维茨理论认为这没有客观标准。有人不在乎风险而只希望期望收益越大越好，而有人为了小一些的风险而情愿要低一些的期望收益。
马科维茨证明了，通过分散投资互不相关或反相关的证券，可以在不降低期望收益的情况下，减小总的投资的标准方差 (即风险). 比如同时用两个硬币打赌，嬴亏幅度同样，每种证券下注50%时, 收益的可能性有三种：1)两边亏，亏100％，概率是1/4=0.25; 2)一亏一嬴，嬴50％, 概率是1/2=0.5 ; 3)两边嬴，嬴200％，概率是1/4=0.25. 这时期望收益E=0.5不变，标准方差d由1.5减小为
d=[0.25(-1-0.5)2+0.5(0.5-0.5)2+0.25(2-0.5)]0.5=1.06
. R: I4 F5 m5 ], I: z; F　
: A5 [) s' _1 V6 m如果两个硬币的嬴亏总是反相关的，比如一个出 A面，另一个必定出B面，反之亦然；则期望收益不变，标准方差为0--完全无风险。
马科维茨理论的成就是巨大的，但是其缺陷也是不可忽视的。缺陷之一是：不认为有客观的最优投资比例，或者说并不提供使资金增值最快的投资比例 (当然也就不能解决前面的掷硬币打赌问题)； 缺陷之二是：标准偏差并不能很好反应风险。下面我们举例说明。
例：两种证券当前价格皆是1元，证券I(像是期权)未来价格可能是0元和2元，概率分别为1/4和3/4（参看图1，其中产出比=产出比=本利和/本金=1+收益)。证券II(像是可转换债券)的收益的期望和标准方差同样是0.5和0.886，但是收益的概率分佈以0.5为中心(产出比以1.5为中心，)对称反转了一下.两者投资价值分析如表1所示(这裡忽略银行利息和交易手续费)。
( d( K) X1 g% Q6 Y
& M1 _2 ^  i. D* ~( H　
( x/ u/ i" I' p5 W图 1 期望和标准方差相同但风险不同的两个证券
　
表 1 期望和标准方差相同的两种证券的投资价值分析
　
期望
标准方差
9 n9 P; [1 Y" V+ I- A- W 下100％时平均复利
: o( M9 N% Z- T# y/ ^, R 优化比例％
优化后平均复利比例
* ]# \2 n4 V  E+ ~5 j证券 I
0．5
1 V4 _9 d7 U% k# ~% T 0．886
-100％
50
15％
1 F! D0 o: Q5 n证券 II
0．5
4 r6 o* ~6 i, L, {5 p0．886
( `2 B5 V. Q5 F" h# s; j32％
100
5 P, z0 Y' v* n% d: | 32％

) d7 |3 t9 `; r4 I8 X3 o　
  D) t! ^. k! F7 m+ G3 g, n( b% b  R表中最优投资比例 -100%意味着：如果可以贷款或透支，投更多更好。按Markowitz 理论，A和B投资价值相同，而按常识和投资组合的几何增值理论，B远优于A。 对于存在大比例亏损可能的投资，比如期权、期货、放贷(可能收不回本金)、卫星发射和地震保险（风险极大而标准方差并不大），马科维茨理论的缺陷尤为明显。

几何级数增值的魅力
--漫谈投资组合的几何增值理论(3)
! ~% U, u2 l7 H# b　
& L5 y. A5 W+ u* Z. |7 N9 u& r9 Y1988-1989年，日本股市从21564点上涨了80％，到达38921点；然后开始大跌，1992年8月跌到14194点，跌幅达63％。虽然80％大于63％，算术平均大于0，可是总的来说是跌的，跌了约1/3，因为累积产出比是 (1+0.8)(1-0.63)=0.666，累积收益是0.666-1= -0.334＝-33.4％.
2 G4 b$ h+ B5 Z3 V" U炒过股票的人都知道，如果你总是将所有的资金买入股票，则先赚 50% 再亏50%； 或者先亏后赚，虽然算术平均收益是0，可是你的资金会变少(变成0.5×1.5=0.75倍)。可见算术平均收益不能反映实际增值情况。
( J  w, n2 n' D% V能反映实际增值的收益是什麽呢？是几何平均收益。设每一元资金投资 N年后变为M元，则累计产出比是M/1=M。 累计产出比的N次开方M1/N被称为几何平均产出比， 我们记为Rg, 即Rg=M1/N 。 投资的平均复利又叫几何平均收益，我们记为rg，则有rg=Rg-1. 可见几何平均产出比或几何平均收益才能反映长期投资业绩。因为
7 i+ ]( N8 a. l6 W) gN年累积产出比M=RgN =(1+rg)N.
　
  _2 e( C# P0 H! X( |4 u投资组合的几何增值理论 (或者说熵理论)就是用几何平均产出比作为优化投资组合的标准，根据这一标准，使几何平均收益达最大的投资比例就是最好的投资比例。
稳定的几何增长具有无比的魅力。几何平均收益的微小优势，在长期累计后可能导致惊人的成功。下表显示了几何平均收益对 20年累积产出比的影响。
) L1 `4 o- Z: N6 l! Y; R: }　
" ]1 G6 M9 [# P+ z+ [表 1 几何平均收益对20年累积产出比的影响
1 ~8 R$ f8 Y  _8 @2 M" n) o0 c几何平均收益
! }9 q4 n5 P. t" K  J 10%  
7 w2 J" M: S9 c) D' N$ R 15%   
20%
23.8%
+ S" r, a' E4 e0 E5 \' E
1 [2 s! T8 o4 K9 n' b. Z20年产出比
6.7
16.4
38.3
71.5
# k" \6 V) t6 i2 `; o& c" ^其中 23.8%就是巴费特管理的伯克希尔公司32年裡的几何平均收益。在过去的32年裡，伯克希尔公司每股资产从19美元增长到19011美元，算术平均年收益大约是1000/32=3125％，可是几何平均年收益只有23.8%（税后）. 美国的基金管理大师彼得·林奇之所以有成功，是因为他十年裡使基金的几何平均收益达到30％。据说李家诚的几何平均收益是28％，索罗斯的量子基金几何平均收益也是28％（早期是35％）。有人做过计算说明，虽然两百年前美国ZF从印地安人手裡以极便宜的价格买了大片土地，但是如果印地安人把钱存入银行每年得到现在美国长期国债的收益，则利滚利后，印地安人现在将极其富有，足以买回更大面积的土地。可见稳定的几何平均收益的威力。
有人炒期货看到可能的盈利幅度大于亏损幅度就大量投入；有人炒期货还要透支。 天朝人在期货市场上破产的比例极大，原因就是因为许多人看不到稳定增值的重要性。
许多股民类似，他们对收益波动极大的亏损垃圾股、庄股、新股、权证等倍加追捧；而对收益较为稳定的年收益达 20％－30％的投资（比如认购新股)不以为然。这不能不说是天朝股市不成熟的表现。
: s  `, o; `  J2 j9 \笔者特别羡慕那些有稳定收入的年轻人。只要他们有耐心，採取稳健的策略 (比如每年认购新股，如果认购新股效益不变的话)，一、二十年后成为百万富翁将极其容易。当然，对于包括笔者在内的许多人－－既不年轻又有生活压力，要成为百万富翁，我们当採取更加进取的投资策略，即选择多种投资方式，优化投资组合，赢得更高的几何平均收益。

掷硬币打赌问题的数学解答
－－漫谈投资组合的几何增值理论(4)
2 H+ Y: _9 }) O- E/ \$ Q/ r& Z  J　
& w3 a+ I* ]% V1 T# j& A5 u8 l掷硬币打赌问题是：有一种可以不断重複的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同； 出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。现在问怎样重複下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?
% A# D2 P  |( d! \9 P不知读者是否记得中学学过的抛物线公式 y=ax2+bx＋c。抛物线可以用来描述炮弹飞行轨迹，它有一个最高点, 当水平距离x= - b/(2a) 时，高度y达最大。下面我们说明中学数学知识如何能帮助我们尽快成为百万富翁。
对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比 Rg随下注比例q的变化是
要使 Rg达最大，只需使上式右边括号中的内容达最大。根据中学数学知识，q= -1/[2×(-2)]=1/4=0.25=25%时，括号中的内容和几何平均收益Rg达最大。这就是说，对于上面的掷硬币打赌，25％是最优投资比例。
" O* [; Q- ~- d1 F
6 P( A+ T% H& R1 \, r9 `: E0 i. d图 1 几何平均收益rg和算术平均收益ra随q的变化
/ U2 L$ V' H  }0 n4 X" l' q　
; @* s( t! D4 w1 W( ~对于上面的掷硬币打赌，算术平均收益 ra和几何平均收益rg随下注比例q的变化如图1所示。容易看出，算术平均收益rg和投资比例q成正比关係；而几何平均收益不是，q太大反而不好，如果q>0.5则从长远看必然亏损。
上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，即 P1=P2=0.5；嬴亏幅度是给定 的（－1和2)。 如果硬币是弯的，一面出现的可能性大，另一面出现的可能性小, P1和P2皆不等于0.5, 并且嬴亏幅度也是变的(为r1小于0和r2大于0)， 这时几何平均收益等于
则这时最优比例如何求法？ 现在我们用 H表示资金翻一番数目， 如果Rg=2， 则H=1; 如果Rg不等于2呢? 我们可以用log2Rg表示翻番数， 即
H=log2Rg=P1log2(1+r1q)+P2log2(1+r2q)
# t: v* x  g! v4 H1 v' A7 w这一公式很像通信理论中的熵公式，所以我们把翻番数 H叫做增值熵。这样求几何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事。可惜这时不能用中学生的方法求最优投资比例。这时要用到大学生学到的求极值的方法(可见数学还是有用的)。令H对q的导数等于0可以求出最优投资比例是
q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)=(P1r1+P2r2)/|r1r2|.
　
注意上式分子括号中正好是算术平均收益。有了这一公式，我们就可以对付收益更複杂的打赌或投资。比如重複掷骰子打赌，可能出现的数字是 1到6；出1，2亏一倍，出3，4，5，6嬴一倍。P1=1/3, P2=2/3, r1= －1, r2=1。于是可以求出最优下注比例q*=1/3=33.3%。读者不妨通过反覆掷硬币或掷骰子检验上面结论。

股票和国债的投资组合优化
--漫谈投资组合的几何增值理论(5)
　
上一节我们介绍了掷硬币打赌下注比例的优化公式：
q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2).
　
4 H5 y/ @5 ^/ b; }6 G' Q- P5 L有人会问：剩下的资金不投资不是浪费掉了？回答是：剩下的资金如能产生稳定收益更好，即使不能产生，那也不是浪费。就像打仗要有后备军一样，风险投资也要有后备军，它能在前次投资亏损后发挥更大效用。可幸的是，目前深圳上海交易所允许股民同时从事股票和国债买卖，使得股民可以用「后备军」购买国债，同时得到稳定的国债收益。
- Q- ^5 B9 O; g+ S2 g+ g5 p: d  i) Q假设只有购买二级市场股票和购买国债两种投资方式，股票收益近似用掷硬币打赌收益来模拟，即已知国债收益率 r0和股票收益的概率预测P1,r1, P2, r2。如何优化股票和国债的投资比例？这时资金的平均翻番数或增值熵变为
H=log2Rg=P1log2(1+r0q0+r1q)+P2log2(1+r0q0+r2q)
; V) F  W6 I# `- w$ y4 @其中 q0＝1－q, 是投资国债的比例。令H对q的导数等于0可以求出最优投资比例：
q*= -(P1d1+P2d2)R0/(d1d2).
- [' q  R; v" F. R其中 R0=1+r0, 是投资国债的产出比；d1=r1- r0和d2=r2-r0是超出国债收益的收益。国债收益也可以说是市场平均收益，我们可以说d1和d2是超常收益。因为国债利率反映了资金成本，我们也说上式是考虑资金成本的优化公式。
. c5 _" Y: p" @" O例：可选择的投资是股票和国债，投资人每年年终调整投资比例 , 股市每年的涨跌幅由掷硬币确定，收益预测P1=P2=0.5, r1= -0.3, r2=0.8，一年期国债收益率是r0=0.1; 求股票最优投资比例q*(忽略手续费)。
解 :已知R0=1+r0=1.1; d1= -0.3-0.1= -0.4, d2=0.8-0.1=0.7; 由上面公式可以求出q*=0.59.
/ i6 N  n  |' P2 p1 z& }故最优的股票和国债投资比例是 0.59:0.41。

图 1 三种投资方式资金增值比较
' y5 l" T  W' C* ?/ g8 l3 {; u) k我们按三种不同方式重複投资，资金增值情况如图 1所示。其中假设有十个年头，每年收益预测相同; 按优化的投资比例投资，则投资者每年年终都要转移一下资金。如果上一轮股票赚了就减少股票仓位，否则就增仓，保持适当的持股比例－－这是取胜的关键。由图可见，全投股票或全投国债的效果显然不如优化的组合。

怎样战胜小神仙
' B% n2 P2 [, s" c－－漫谈投资组合的几何增值理论(6)
4 I" ?, k2 h) Q2 W　
Dubo和投资并没有严格的分界线。首先，两者收益都是不确定的；其次，同样的投资工具，比如期货，你可以按照投资的方式来做，也可以按照Dubo的方式来做——不做任何分析，孤注一掷；同样的Dubo工具，比如DM，你可以象通常人们所做的那样去碰运气，也可以象投资高科技产业那样去投资——基于细致的分析按恰当的比例下注。
但是Dubo和投资也有显然不同的地方：投资要求期望收益一定大于 0，而Dubo不要求.。比如通常人们买彩票、DM、赌大小… 的期望收益就小于0。支撑投资的是关于未来收益的分析和预测，而支撑Dubo的是侥幸获胜心理。投资要求回避风险，而Dubo是找风险。一种投资工具可能使每个投资者获益，而Dubo工具不可能。
6 {1 k% L/ d! U3 \) ]6 A投资也是一种博弈——对手是“市场先生”。但是评价投资和评价通常的博弈比如下围棋不同。下围棋赢一目空和赢一百目空是等价的，而投资赚钱是越多越好。由于评价标准不同，策略也不同。
对于赌大小或赌红黑那样的Dubo，很多人推荐这样一种策略：首先下一元（或 1％），如果输了，赌注加倍；如果赢了，从头开始再下一元。理由是只要有一次赢了，你就可以扳回前面的全部损失，反过来成为赢家——赢一元；有人还认为它是一种不错的期货投资策略。但是从几何增值理论看，这是一种糟透了的策略。因为这样做虽然胜率很高，但是赢时赢得少，输时输得多——可能倾家荡产，期望收益为0不变，而风险无限大。不过，这种策略对于下围棋等博弈倒是很合适，因为下围棋重要的是输赢，而不在于输赢多少目。围棋手在实空不如对手的情况下扩大战争或放出胜负手就是采用这一策略。
电影《生死赌门》上面有个小神仙，特别善于心理战。Dubo方式是猜宝，那里的宝是两个分别涂有红黑二色的圆块块。小神仙在密室里把其中之一放在宝盒中，然后让人拿出宝盒供大家下注，下中颜色者赢，否则输。猜家总是根据前面的颜色预测后面的颜色，如果出宝者出的颜色顺序和猜家预测的不同，猜家就会输。有一次小神仙一连出十几个黑，令众多赌徒大跌眼镜。后来娱乐城老板为鼓励其他Dubo高手向小神仙挑战，给予优惠赔率：挑战者输了一赔一，赢了一赔五。结果小神仙还是一再赢了。
现实中可能有这样赢钱的赌坊吗？我说可能。假设每赌三次小神仙赢两次，赌徒每次拿出自己的一半资金下注，那么赌徒的几何平均产出比是 [0.52×3.5]1/3

怎样根据盈亏的幅度和概率定头寸
$ x3 X1 K, H. X# P7 X% J# n8 \* h揪 漫谈投资组合的几何增值理论(11)
    笔者曾听到一位经纪人说：「我看到一个又一个来做期货的亏完钱离开的样子，心裡真不是滋味；好像我们把人家骗来，搜光他们身上的钱，再把他们赶出去。」笔者以为原因主要在于投资人头寸控制不好。
6 l+ @- v- E% r# o8 ~8 J    罗恩·迈克尔森在《世界杰出交易商的特色》(《天朝期货》，96年2月)一文中写道：一般来说，什麽队能拿全国或世界盃呢？是防守好的。…交易大师总是留有退路，以便东山再起。…交易大师总是保存资本。拉裡·海特每次交易只拿出1％的资本。《投资者商业报》的比尔·奥尼尔说，每庄买卖所耗费的资本不要超过7％，超过7％，他就会被赶出市场。埃德·赛柯塔说，保存资本是最重要的赚钱秘密，如果不能保存实力，就不能把期货交易进行到底。
    很多人认为，只投入一小部分资金，手裡留那麽多现金，这不是很浪费吗？从几何增值的角度看， 即使其他资金不投在别处，那也不是浪费。因为期货交易就像打仗，留下的现金就是你的后备军，它能在你亏损时发挥更大效用。笔者赞成头寸控制的重要性，但是不以为7％或10％是牢不可破的界限。头寸控制在多大范围内，应以盈亏的概率预测而定。
7 i% T& ^( q6 ?% f' S9 J    有人说，只要盈利的空间（或者说幅度）是亏损空间的三倍，就值得投资。但是投多少呢？可以百分之百投入吗？盈亏概率不等时又如何处理? 下面我们先看盈亏等概率时, 优化比例如何随盈亏幅度变化.
    例：对于只有盈亏可能性皆相同的投资，一种是股票，盈亏相对(相对于保证金)幅度是 -10％和30％；另一种是期货，盈亏相对幅度是 -100％和300％，求优化的投资比例(忽略资金成本和交易手续费）。
解：用最优投资比例公式
                               q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)
4 U# v2 O0 R- z; E& e7 A8 I可以得出结论：对于前者，可以满仓甚至透支投入；而对于后者，最优比例是33%。
6 q: V, c4 L* P4 S这表明，风险越大，投资比例应越小。
5 z% ~3 d1 x9 f( m2 f( ^根据盈亏概率定头寸可以同样依据上面公式。假设两种可能的盈亏幅度是：r1=-2, r2=3; 当0
- z2 e, U: f2 l* F, y. R3 H# y0,不管它有多小，你的做多头寸佔有的资金比例都不能超过1/2，因为一旦超过，有一次亏损，你就得破产；同样，只要P1不等于1，不管它多麽接近1，你做空的头寸佔有的资金比例都不能超过1/3，因为一旦超过，有一次亏损，你就会全军覆没。由此可见，对于期货这样的盈亏幅度很大、而且不能被绝对正确预测的交易，最优投资比例往往被限制在很小的范围内，一旦超出，就可能破产。这也说明了为什麽很多人加入期货交易不久就被淘汰出局。
$ g! H/ o, o! g% z$ _7 j7 {) g

出A面你投一亏一，出B面你投一赚二，有这种Dubo游戏吗？如果百家乐能在50%的情况下投一赚二就稳赢了，谁有好的方法能改变！

其实赌棹上的赌与掷硬币打赌看投资组合问题是二回事，因为在棹上的赌是要抽水的，但这里掷硬币打赌来计算是没有抽水的，前者是负收益，后者是0收益。

财神老大，你所学的知识真是丰富啊！！！

讲得有道理，做起来难

有一点感悟，好文章不能沉下去了

财神老大。。。膜拜

这样的好文章居然没什么人看，我顶起来。

财神老大，你所学的知识真是丰富啊！！！

睇睇下@!!!!!!!!!!!!!

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