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引言
2 f" T0 X$ V/ ~1 n: G% v& W( f8 N9 C8 n( d( Z( }' ^3 V' S
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 ( \- |$ W1 t4 s% k2 D

: F0 w, a0 ~/ @问题 3 g" w9 B5 g' J1 B. j: ?

& U1 u: ]" M/ x2 I0 I0 J& B& T' G$ o5 J# D' x' W; C. y$ X0 z& J( k
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? 3 B2 w6 |% U; o
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当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 * g) h  P7 Q4 I5 R
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本文 5 E1 ]! H5 ~& l' Q6 `9 S
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5 g3 M# x, S% r1 y3 i  m" H( B
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 # e! V5 X* ^3 g* \- `5 v, x

  a. `7 u9 Y6 \7 l* i  o为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
1 ~( u( h6 l7 v6 L4 Y8 ?" A' `* @$ G0 T+ W3 z% h
* i* z' s# ?8 E* ]9 `/ O+ p- e
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
: `. v8 a4 Z5 ~3 X$ u方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) . Y: K" K6 ^1 q7 A3 ?
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) ; T; U0 i' I! A- }
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 4 s3 J3 e0 O' k% f% H
3 s$ G9 ?$ w+ x" `7 r
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
  U7 L# L6 B0 p' h4 h8 n) _  m1 b, z" Q0 ^1 W8 O
++,
0 O, Q* F: J( E; x5 X( I* k+-++,-+++,
) a) h2 @/ i9 d( a0 d, b, f+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, 6 u# ^; _! R# h
                                                                                                。
# j$ ~1 k9 S) p2 N在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 ; a, A4 }2 d" \; D8 k+ v

! r; s7 C' n2 t
/ _0 b3 ?5 {, p3 m# ^6 k1 [
$ ]! c6 X% R/ j  a4 S$ v2 V& }0 j' c1 ?$ D/ \
+ P) {. v- A( I, E
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+ H* i1 p. o. g' y/ Q, `0 H# p5 i# k/ U' L( ^6 f$ X7 a- ]
: D/ s( @- f0 h3 [+ E, {

* i0 H; U3 l* ^- e: ?8 f8 M' h现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 2 _5 C( s% f( V
) K8 ~) T5 p( Z4 q" J+ L
++,+-+,
; N8 T# a" l& X-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
; h  l7 g$ h6 y-+-+++,-+-++-+, 9 ^5 ]" w5 w' C+ P
                                 # O: Q! d' c7 W* r; Y
, , % K! [& d2 x; ^. u5 s) H/ r4 }' I
                                                                                。
3 |0 v% Z$ c% s; B3 k6 M+ \  [1 U
5 G" H8 `! J: ^1 e( t仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
8 R. `) \- D; C
) a; d( |4 X" d* y# {  D) Q, {6 j* H  W; Z& _7 M

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6 H( a. L7 q0 G! f/ a! R8 t9 E) k  }/ O* A, q: h; T
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2 J# P* s% e% z# O! t4 Q3 O3 t4 e
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
5 i4 k0 w- ~- k) |1 F; d5 P9 B/ r
7 r' t  k( S: o2 w" ^0 k现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 0 G$ T2 j9 v0 U" ^& X

1 ]0 X; m" r6 Q这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? 6 {1 n* [; \3 S3 {2 f
, S0 B& k! k1 h* T% }& Y+ U8 _, h
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
4 O5 w% @: {6 s7 Y- d7 b( `* U. C# _6 t
* J' i9 z1 y* F/ P( c% v
情况一:    }! s; T! V3 P3 Q2 m
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 $ q# X% Y& Q+ z; I7 o/ g) w

$ _3 S; L. V3 |( b# S7 ]情况二:  
! \% o- h) _* |) H! `* H  c此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
* R, O* k, f. [2 m" g/ c
. M6 O+ S7 F$ y  ~# j情况三: 7 b8 A5 _8 R6 Y8 ~' W: W
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
1 H) @* d$ I! w9 ]- d$ O3 x) Q1 R% D) ~/ F  p% d8 u/ g! r
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 2 K& ]; V! R' S4 ~" U
3 A8 s+ t2 w5 M. a6 [) q
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
6 x; O% _* \+ j* v7 W
; i; [  u9 ^) W* b如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 , u4 V* B. W. ]0 f
0 E# c5 e+ T! I* G8 y8 ]. `* a

+ H. q& u& F7 |  Z1 J5 H6 ~情况一:  5 u" b5 J! c* Y! t
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 * }. _( i9 p" y+ w
' l6 ~! K! j, T, v& u7 Y) g

- v- z' P2 h0 o6 q* n$ `! n1 `  ]' f! ^6 \" |5 c2 I5 w
2 I' U. `- |  y, U0 M, T/ q5 G* S
: D8 D: H  {, T( D' a' E
/ d3 d- Y5 d, [3 y: I! b& O& r
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
1 k- d* V* z* n) x+ q
" t  ?9 Q9 k* I# Z( L0 f情况二:  + C, q) h( P8 E  e
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
, f. e2 ?9 a! V' S# a- p
2 e( K" S; t( a4 Q9 K: o2 l/ _: x4 j8 ]" B

+ c% E3 w! Q7 j+ K( S$ l7 c3 K" A8 @# A: \
2 R% n$ v9 h8 R6 ]" ]! _8 z
  K# s; p7 E: u; t, C( m
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 # k  {& @* L+ [* n" s  Q: \
利用p+q=1,上组方程式可改写为
6 K7 z9 C% d$ [. x
2 z0 J  ]1 K6 X% s! \. b; g' `: I7 ]9 ?2 p+ w" x* v5 z7 C: r: f

  e5 o0 N! v4 }0 G. E" D$ ~9 n: a7 {9 \+ m- x1 h! p9 Q! R  Z
+ y% F1 b2 W/ l. X& ]6 f; _

# {1 R. _$ R' \) }2 r2 v两边相加,并利用 、,得 ; k" X) r8 u, u% Q
  f3 e8 R( T/ [7 r0 T' L
5 c; _+ R& B% @1 w4 n
! L( N. {5 _- t! y2 ]. g! O
8 l1 u* m. U# d" A" {
4 K3 e+ t0 S6 [& j; x, p

. R7 d' ~( t& m$ G若取前 c 项相加,则得
' W% S, t- v, k/ j7 p  S1 A! I* v- D4 _
0 S9 Y" s+ f7 J8 `* {; k8 y
7 t* w( T; h( B* n5 K/ X
/ ?. ~1 h6 }# K1 d# I* m, I6 ]/ m4 d/ u, ~9 V
/ p, u6 F9 X8 ^6 V  M$ q

/ A9 m. `0 x6 G$ V) g9 }情况三:  
( [2 C  v2 S. b# U5 b1 O6 f0 V仿二之解法,可求得
' Q' W2 h2 F4 W4 J; T  o. m+ x9 a1 W' k1 c

9 l# `' @( c# a9 e* J: l$ _) _

) N+ T  {: h! \
0 I$ `/ n1 o' f4 ~4 E# }  i1 H  A! j; W8 t3 Q0 L

9 Q# o- \+ Y# F9 u保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 7 C$ }4 s) E$ s. _# L5 q; u; Q
/ G: y1 n. f0 V1 X* ?& m
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 8 @2 U" ~: f6 @% c- h: c% _

3 k: P' e' O( A; w, d# `6 y8 U" L% v+ C# w) I
定理: # u# @0 d: [; ~6 r" E9 Q3 Z
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 + k+ X) a% J; j4 l. H& u. H
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
# a/ t+ [$ \8 ~; Z
  J3 p' Y. v" Y现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 7 V5 ]. n/ ]) g

+ |- Y* S% R( Q, b+ U首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
2 l" A. [& T. G/ O& E5 p9 S  M( A& H9 x
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
* W3 Z3 Y/ d) t' O8 i, Y+ p9 b, }9 p; t3 Y7 X8 }
0 i& l+ G9 m4 W
: |4 Y! v1 v9 c7 A4 v/ H( f
/ U! N7 @1 W5 P7 S5 j

$ o2 Q# e3 ?8 H. d8 a7 d' \. s7 o8 V. @/ K
2 V7 a3 J+ A9 f- ^
7 Q# W+ n% W- C8 v% C
其中  为所下注之金额。利用
% f! S6 [( u: V4 v! u2 d' t2 B8 i% @0 ]

0 V" N" p! q; a. `: V
' X/ S, j6 V1 B  Z5 }; q) d% F. D. B2 p, c$ R
- M/ f. p0 y3 k. e! z/ o

4 t4 R( a' A- d; s2 t2 c* O
; O) U/ Z- S. c5 ?* V5 m
; ]( _) L# o' P2 f2 Y/ U: m& [可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
4 V: u; x1 d! e. d
0 o! A' X8 Z: P- @2 D0 d6 R' d$ w8 g) q5 C* q% D7 i" f
0 Z, Y# o, o1 g6 Q! V4 j3 U

8 c2 r: n% \. c& y' ^; ^  K% z1 _9 a7 j/ |6 T  B

9 Y, \8 ]; r! Q# `3 @9 \4 m
  D& w7 c9 |  T7 N" \6 A0 N; f% G5 A
因此可得在情况二, 时,
6 L- |; Z; c/ P/ G. |' g  m
+ {; {* S; i4 I2 z7 P$ i9 t: n4 D

) d! u! z: g' y2 s" {7 f  S+ E% k6 o' Z1 _, Y8 S
0 `5 [! r2 E, x' ~
4 k5 q* |% N% T
( Z6 @- f  k+ D) p
* O. L4 z* x; b6 O$ F
而在情况三, 时, 5 e8 }: h+ Y, E
1 Q# m6 [2 j9 e( R0 X" `
& Y. @! v( ~$ Z& z* x

- T: {; {5 E% ~7 s4 }3 v  I! j- t! w  N" i5 t1 O3 _$ O

1 |' U4 b: ^& u; k* \7 d0 _: v( H( @) Y0 D4 M

" l  f" U6 K0 J! Q" o
% C+ |" `( |& f- e  Y但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 # b# n3 P# S0 C' _. {9 i
; o! L. _$ I# R& }
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
( _& o+ _, D# l. E6 @
+ R0 U: |" y, O7 v附录
& o! P0 ?+ D+ K; u
& @+ o# \, C/ u/ s4 \  z
' A; V* `* T- b在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
4 J4 m) L6 A7 N  X0 `$ r" }6 P) z: Y( I: F8 c2 ^6 t
! c6 R+ M5 R! [8 b* Z6 Z; J% y

  o) {5 v+ Y+ s' [8 F$ j% b
( T1 q1 b# a" n0 {/ y0 L6 h; {/ |1 Z2 f/ L' ^. _

1 o* d! b: m1 M8 e2 f$ s! r" j5 g) Q6 \% Z
: O" j9 D# h( O8 _% ]4 U
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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