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引言 % [" u0 V2 A4 r3 L0 y

; H8 k3 S' m3 [, L8 v' B在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 ( v( K' A0 b8 U7 w: i

# m3 N. N! F$ \" A4 ]8 h' a/ o问题
& ?& q  ~  }9 v3 n7 T+ B& ?) J& W; f4 X1 V! z& D! R; v" A

  c1 C7 E4 P& }: @0 T) m有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? , F' `* U, i& Y% t2 Q9 w

/ F0 m  K; x! H当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 6 A7 G! Z; L' J3 m* [0 u5 _, e

; R$ d( @5 n; G* M. P本文
5 I; A9 p9 A* Y( n2 C- u2 D( H, g, D. f
0 @- _* w( l4 i3 P% g- j
- @3 Q) M6 x' W2 I问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
* n+ _- m) l5 e: T
- p$ H6 z- A% r6 n8 s为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
0 U3 ?- }6 G3 N  [) P: g
2 Z2 x. D. B3 Z1 u
3 q7 f1 B; v1 z方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) ( X: [  ]$ i; R  }/ Z7 d
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
7 d0 A4 H# Y( Z9 j方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
7 Z. f( c7 z' Q/ g你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
2 H1 p5 S* `6 ?" J
' ^0 q8 Z9 s. _首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 % x5 E7 h. f" a1 e6 J
+ B) z7 H! Q: y) x
++, & l" C, n- |4 T
+-++,-+++,
7 n+ h0 d: L/ x8 |7 u+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, : X' z% o# L$ q7 t, s  r9 B# K
                                                                                                。 9 z1 e4 B+ B' E. m2 _
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
% J- H& p' }; ?' h9 e! |2 l( w! m& j$ z* @3 x
7 C$ v, I* F( m" @* v

% R! [: n& C4 h7 g. b
7 b$ |' r4 b6 o& G3 e# v# i7 d
7 z& ?' [+ l: I
1 O# u7 i+ c5 ^4 }$ V+ g$ {  \: {$ g9 v0 _8 n, z1 J. r) a
4 ]  u" z4 Q( S  f

* H3 n5 F/ i0 E- R) D( V/ Z
: ^/ C/ a0 E* ?2 C6 C' j现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。   o* X  L& u+ A; W

3 L% O$ T3 G; b8 Z9 r/ _/ _++,+-+,   l' n0 w) p: e* M
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) + I4 G6 V+ |+ E# S0 f- G9 Y
-+-+++,-+-++-+,
6 g; R. `/ y+ W6 k1 W- V                                 
$ B4 ?+ W$ K4 z" Z, , $ D6 a( b" k, S, @: m  O
                                                                                。
" X0 p: w% _6 D2 ?0 [8 ~$ f5 t8 ^& d+ t. a9 R' i5 L9 `5 e
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
1 c5 X3 A0 q  A2 m2 x
7 ^# w% {% i" I7 T" ?1 N
" J# p8 S& ?0 h2 a
+ }* f+ H6 U) i
9 c; s; t' G7 H1 O/ h7 R
/ ]$ u" V2 K4 W2 T$ f, d& J
" k1 N" Q8 d$ X9 w& f$ j3 h
# a1 T, U! U$ @8 I2 _; A' y: r; h
, q6 G/ g- Q* I- {3 a. Y( d最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
5 m! U) s8 h! B# G3 ]/ Z, [0 L2 u0 w4 n" s( y! ^1 v! p) j
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 " ]. a. ]( ?6 [( ~9 \4 t) [+ G% a. R

9 T/ Z9 Z1 z; @  E8 C! Z2 h2 t2 v这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
4 x6 _8 ]! y- c0 C9 S
! a2 i; [6 L' H1 c/ A现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
6 \4 @' U0 |8 @/ W. @2 v
5 E6 }$ F* l& R* P8 o. I$ `' {0 K
情况一:  0 t0 {+ E2 h. @5 \' I
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 2 S* F+ X% b: u
9 d' U) e' b' \, R4 k
情况二:  # B) E: u% B) }) |5 }
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
& y$ Y- g! l. F% h" h6 u3 j
) ]( V: {+ Z* u1 i/ [情况三:
# I1 G  b4 l1 H: t0 V3 z: @1 i此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
1 @' u" y5 {7 `! n8 v! M5 ~
& W" X5 E" q: Z3 Y( x现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 " j/ A1 G4 N" z" V

& x  _7 W( V2 F( d( @由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
8 \  q+ ^& S9 _& K' ^! z) f2 f% i9 X5 n/ {1 B2 x' Q1 Q
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
2 R. T: H4 u; }6 v1 |
6 J3 a$ |- U& {. V9 [& u! `
5 g5 D% s0 m) Y) W2 D! n7 }6 C情况一:  
  n  d1 t' E$ A假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
5 q, U7 y/ m' `0 K7 Y5 j% a; K
  s! p6 t* J6 y) j: j2 Q% X" e- r, G$ ^$ t# j' w

+ Y* n5 _% m# j, }; Y7 A/ b
. S& q* ^+ F. R) i, q
5 H1 }- o, n( }. v" S, s2 K+ {7 S% s% A' [  m
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
7 s: c* D, m  N* O  Y2 r/ O1 U. ~# y$ q% w  A
情况二:  
! X) a0 d1 j! I6 m. @- E令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
' o. F* ^3 A/ w3 s9 b
/ C1 h! `( M8 s/ S* F( ], b' I" H9 v# B5 ~( w

, O. n: N3 P7 d  p
1 U1 J( N) M. p- G
% M* ]2 r. F4 @
  T9 S( N: `2 x6 ]* T3 H' d3 l这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
+ L. B0 {+ J% V7 k7 O4 K: k$ I利用p+q=1,上组方程式可改写为 ! Y5 B" L1 i( l( X! Q% k9 Z

+ }$ L4 p+ f. h4 O1 u9 ?  Q7 d. s6 I5 _/ p- q) N$ X" x
, K8 [0 Y1 q1 N: j) z
# T* W4 Q  E$ L: C' Q$ i
! V  A9 X/ }  X7 _4 q# F
, x; w) {/ z4 o, G# u! o
两边相加,并利用 、,得
! A# \2 O& o/ Q0 C2 E. f1 a5 {2 \% F- Y* Y
" ~7 \* b3 V7 V2 s, y- j' N( Z
# Y* O# F, S* q# P, ~
; d; e" Y, M  t7 }. Q6 d6 _
, }' L- Y: ~9 P4 U+ a) @/ f1 V
1 H' k. ~6 O+ q  O$ Z' I$ h& v
若取前 c 项相加,则得 . p$ j  Y- n/ h5 `
/ b. M/ q; W- \0 B% e4 S* e7 Z

! T3 _7 \* l; o) B1 ^& H& [) Z" Q4 B: o% c6 {

# k& \1 a! {* t4 g
: \% c! ]/ I! ^! w. ?/ Y. C9 \# K1 o' ~+ Z2 H9 T
情况三:  
9 o/ [0 r: P: [/ `* d仿二之解法,可求得
* l& \2 \7 A: ]0 o1 h/ j! s3 p$ {0 A1 L! }+ b5 h  ~4 c
, u! V2 j# {. {  v( ]

* M7 o7 v: }2 F) y
/ {6 b$ e& ^( c2 s! I7 p7 F; l/ W- o; O+ c

4 I- u8 U* W# q# W  Y
1 U- `0 t2 `. t3 h2 `2 X7 O  c6 _保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
9 R, O9 R5 q, M. g/ U
3 ~9 i- F$ j* g) C首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 ( i! e$ }1 i1 H7 y) L1 |

% u- V# S4 Q- J3 ~
( `* T& M: h6 f% b定理: 7 _5 O7 ]! r$ u8 q
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 + C# C$ d3 ~2 L: y; G! X
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
: L( h4 i0 ]1 |$ ?5 t: H; R% j3 v0 A8 P
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 + k1 x  }7 J9 B0 D* j( R

  V, l# M$ Z% I$ ~1 c  y首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 9 e& w, ^4 J4 d! p; c# g

, o' ]/ N/ _( J& R: {. Q% l至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
! a6 j5 ~. M: M( |; O# f; _* A, H5 x  X( U5 j

" o2 ^8 d. h- z0 L8 [- i4 v: n9 V* ?7 i

2 R3 V8 z- T# b5 ^! W0 O" F2 G, |/ Q; C  O" q' c. a$ e

, f& |. g2 _! w1 E: I! X
6 ]& T. B# M; g+ W% h1 z+ N: t7 _4 M% L+ I7 P0 Z7 w
其中  为所下注之金额。利用 * h* T5 r: \/ O! c) F, d, V
$ J  [) f7 E: \+ ^! P: R
; m: `; l2 Q: i( H8 ~' K% B

4 q0 S0 H! r8 a, Y1 t. m* z, U7 l3 g* N4 o& u

; r1 V( V/ g+ _8 Q) q  E  k: d1 z# y
) p( a0 W0 }3 @# f4 H, Q/ d6 `9 b3 b7 f) V* P* {, y+ g

. u3 E- T0 T6 j' F9 u可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
9 I; ?6 Q8 U7 D! l: A/ p* O* N# Y3 x/ L4 t- X& [
, u- [6 C8 U8 Q
( h7 {( H4 Q5 d( B* ~. k" L

6 t5 L- T; K8 a+ u' B9 G
, X& R, w9 ^5 N& k% k
' T  ?* s+ @5 U; q, T( v" k0 i8 ]& q" N( x! W0 M  I

) `3 x' W/ d! u8 D, b" e) v% ?; I因此可得在情况二, 时, 3 W! k# T7 m% c1 d" A
. p9 y& m0 F$ }8 d2 z. U- [! L
/ g9 R5 `6 T4 q1 s6 x0 P  ]2 U
) C; X9 m7 j4 H; z- u1 {- R" h
  n( b% G" e, k. c+ N
! M7 [5 k' Q" b. N% e2 V, J+ v

: _2 v) A! E: @" w7 N. |5 m9 g3 H
2 {! [) g8 S' y5 I
) L+ N3 L- v/ u: K而在情况三, 时, ! k/ C5 Y6 C+ ]' G+ K2 \5 Q
) T9 \8 e. j' |

5 a' V2 y+ a' C: L/ W/ ?4 c- i5 Z8 e# @# V# V3 n; X% \# U

: K, W  w( M/ l* K3 j! {5 U& p. Q$ U8 W
" w8 X% H! ~3 ^- i6 Z# `6 I* A
+ ~; B* i) a- X, S' O% b
9 k# o, C( n4 u' c9 s+ k# @* u" l5 U
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
, d; ?4 U8 }% }8 J4 E' u: Q! m! O# `5 c' x8 g  L0 P. r1 t
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
7 H2 k/ b7 W2 M0 d; P8 @& I
8 b5 R% E* d3 n1 o  i+ w' g) n附录 5 }; H+ A3 a" F1 t+ H' t5 e

' J6 p& ?7 D8 ~6 Q# g9 p( G" A2 ]
) T9 z3 I3 l1 r5 |在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 0 p; m0 i6 S* h4 S" `) j8 }

& a2 u/ O( v  \7 T! I! w0 f- |) ~# F$ O! t+ Q/ G
  `+ D4 S' O' z: u  }' c5 s: l0 I4 d
: i& S: R) a# ^
& n" t" i0 {1 `$ B) V# s
6 u" ~( _; G7 n% h- B& N/ }, i0 b

( U. v8 s7 |% E/ G
; t2 P& g; d, J& Z! |另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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