随机赛程的最佳策略

引言
2 f" T0 X$ V/ ~1 n: G% v& W( f8 N9 C
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

: F0 w, a0 ~/ @问题

& U1 u: ]" M/ x2 I0 I0 J& B& T' G$ o
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

  a. `7 u9 Y6 \7 l* i  o为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
1 ~( u( h6 l7 v6 L4 Y8 ?

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
: `. v8 a4 Z5 ~3 X$ u方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
  U7 L# L6 B0 p' h4 h8 n) _
++,
0 O, Q* F: J( E; x5 X( I* k+-++,-+++,
) a) h2 @/ i9 d( a0 d, b, f+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
# j$ ~1 k9 S) p2 N在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

! r; s7 C' n2 t
/ _0 b3 ?5 {, p3 m# ^6 k1 [
$ ]! c6 X% R/ j  a4 S$ v2 V



+ H* i1 p. o. g' y/ Q, `0 H# p5 i


* i0 H; U3 l* ^- e: ?8 f8 M' h现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
; N8 T# a" l& X-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
; h  l7 g$ h6 y-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。
3 |0 v% Z$ c% s; B3 k6 M+ \  [1 U
5 G" H8 `! J: ^1 e( t仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
8 R. `) \- D; C
) a; d( |4 X" d* y# {  D

3 n: C( A: }2 `. [
6 H( a. L7 q0 G! f/ a! R8 t


2 J# P* s% e% z# O
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
5 i4 k0 w- ~- k) |1 F; d5 P9 B/ r
7 r' t  k( S: o2 w" ^0 k现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

1 ]0 X; m" r6 Q这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
4 O5 w% @: {6 s7 Y

情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

$ _3 S; L. V3 |( b# S7 ]情况二：  
! \% o- h) _* |) H! `* H  c此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
* R, O* k, f. [2 m" g/ c
. M6 O+ S7 F$ y  ~# j情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
1 H) @* d$ I! w9 ]- d$ O3 x) Q
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
6 x; O% _* \+ j* v7 W
; i; [  u9 ^) W* b如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


+ H. q& u& F7 |  Z1 J5 H6 ~情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


- v- z' P2 h0 o6 q* n$ `



这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
1 k- d* V* z* n) x+ q
" t  ?9 Q9 k* I# Z( L0 f情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
, f. e2 ?9 a! V' S# a- p
2 e( K" S; t( a4 Q9 K

+ c% E3 w! Q7 j+ K


这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
6 K7 z9 C% d$ [. x
2 z0 J  ]1 K6 X% s! \. b; g' `: I7 ]

  e5 o0 N! v4 }0 G. E" D$ ~9 n


# {1 R. _$ R' \) }2 r2 v两边相加，并利用 、，得






. R7 d' ~( t& m$ G若取前 c 项相加，则得
' W% S, t- v, k/ j7 p  S1 A! I* v- D4 _
0 S9 Y" s+ f7 J8 `* {; k8 y
7 t* w( T; h( B* n5 K/ X
/ ?. ~1 h6 }# K1 d# I* m


/ A9 m. `0 x6 G$ V) g9 }情况三：  
( [2 C  v2 S. b# U5 b1 O6 f0 V仿二之解法，可求得
' Q' W2 h2 F4 W4 J; T  o. m

9 l# `' @( c# a

) N+ T  {: h! \
0 I$ `/ n1 o' f4 ~4 E# }

9 Q# o- \+ Y# F9 u保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

3 k: P' e' O( A; w
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
# a/ t+ [$ \8 ~; Z
  J3 p' Y. v" Y现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

+ |- Y* S% R( Q, b+ U首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
2 l" A. [& T. G/ O& E
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
* W3 Z3 Y/ d) t' O8 i




$ o2 Q# e3 ?8 H. d8 a7 d


其中  为所下注之金额。利用
% f! S6 [( u: V4 v

0 V" N" p! q; a. `: V
' X/ S, j6 V1 B  Z5 }; q


4 t4 R( a' A- d; s2 t2 c* O
; O) U/ Z- S. c5 ?* V5 m
; ]( _) L# o' P2 f2 Y/ U: m& [可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
4 V: u; x1 d! e. d
0 o! A' X8 Z: P- @2 D0 d6 R


8 c2 r: n% \. c& y' ^; ^  K

9 Y, \8 ]; r! Q# `3 @9 \4 m
  D& w7 c9 |  T7 N
因此可得在情况二， 时，
6 L- |; Z; c/ P/ G. |' g  m
+ {; {* S; i4 I2 z

) d! u! z: g' y2 s" {7 f




而在情况三， 时，



- T: {; {5 E% ~7 s4 }3 v  I

1 |' U4 b: ^& u; k* \

" l  f" U6 K0 J! Q" o
% C+ |" `( |& f- e  Y但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
( _& o+ _, D# l. E6 @
+ R0 U: |" y, O7 v附录
& o! P0 ?+ D+ K; u
& @+ o# \, C/ u/ s4 \  z
' A; V* `* T- b在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
4 J4 m) L6 A7 N  X0 `$ r


  o) {5 v+ Y+ s' [8 F$ j% b
( T1 q1 b# a" n0 {/ y

1 o* d! b: m1 M8 e2 f$ s

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！