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1#
引言 1 ~# [  D1 G, S+ n
" c+ q* m' m2 K* c5 f+ q7 A' Y
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。   q' L" ~- Z2 T3 {

& i5 |* y5 a/ F) W- X) H  W" w; x  N+ P问题 8 I. o! j1 U0 C& ^& z) U7 _
) h- ]/ y& I) ~8 H( x  n/ a# o! _  O
7 L, `0 L4 H+ _) b6 B+ @- R
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? 7 [! u, R' O* q: |( m- \

/ B4 D4 l; I2 [9 p8 G% l% D当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 , x% c( U) @. V# f* T( ^0 ]3 t* f9 d
; v7 Y; O! B5 y6 l( Y! Y! _
本文
2 P/ K2 c8 M; a( _' x( Y
! u. W% p3 Q8 f# h/ ]1 ~- f$ r
6 ?# w9 z, B6 j问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 - I' Q4 [7 o! w# y/ e5 f# i

6 K5 |5 n4 A0 b' Y, [为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
; w0 z+ i5 ^* K) F) a  r5 V1 I
* W6 N! F& U0 U: a* }1 v
* e% I5 F7 l8 q, h方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) ! K" E( R4 K% h
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
( H  |7 @1 ]% r) ~* ]0 b: Q4 G方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
8 {# \4 z" G' k# r/ s你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 - `1 G8 m: O+ ]/ F3 T( a
- e' i% O0 }; P) |( @# @' c! x
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。   o2 w. |: K: f
* d4 [6 s+ o3 P2 j$ r5 L
++,
; f# Q  z# ]+ |- c# Z2 i1 S1 y( W+-++,-+++, 8 U7 S. u/ g9 |7 T- L3 L
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, # k. e9 \. W( W" S, R1 u* i3 G
                                                                                                。 , ]7 v! M( }+ [) E
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
. V/ Z( K8 V8 g0 R; {9 {
2 R( \1 w5 ~7 Y2 W, E3 L  \7 K
7 a5 w4 j& d% [' e9 y" I' t6 X$ M  R
2 W, e; M! o. ^( ~6 h( X# M
4 q" n: m% Y" n) b- f% b
$ z! r( S! m: m  X

' H' U8 W! ?& u5 U
6 n; J- M' b" _: ^+ M1 s4 `8 G8 M: j* }

) m: F- `( P. H- ?) W; n+ E$ i- I8 z现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 ' d) v* M8 H  L3 b: L' ^' Z
- d% K3 c8 r& Q
++,+-+, & \7 I. l3 `& C! X6 g: t
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) + [' U7 }+ t8 t# Z" F/ q
-+-+++,-+-++-+,   J. m7 C+ o0 k0 U6 S" w
                                 
  R, p7 s1 ~( j8 d* R, ,
" ]- f, S, X4 b6 O' i, m                                                                                。 / C/ m) \  k1 d: u% N

  X- a) O* _9 k/ K0 R7 B9 d仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 ' ]: Y7 y9 Q1 p; G' |
$ E- F2 d; O  s/ }5 W# i* d2 R: P5 k

9 t: o2 k. j% ?$ k6 L9 u0 C! G) V7 r: Q) R2 Z: I

. _0 S0 Y" ?4 `
/ r/ w. H; i% o
0 r$ i% V2 a& k0 N6 c& [" K* X/ H" q9 |
" b' {' d5 L, W2 ^& K6 j) R
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
2 H2 R8 v8 \8 G( b% h6 ]0 p0 v( e8 B4 n- u
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 7 O  ^8 m7 X7 b

' H" Q! w" A1 M3 K这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? % o/ L0 k; N9 b+ y: {
$ q) _0 c( v0 H  z
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
3 ^  R1 w) q2 ]! ?; V
$ w$ a: L7 h& O) s
! C4 Q: h: g/ R1 _5 u# T情况一:  
3 F3 g, l9 s1 d! Q4 F此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
( d# d& d: O7 U# B( Q/ A2 }6 ^' ]# ]
情况二:  
( ?0 |! L8 k5 H5 p; K此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。 * Q: v% y# c: b  B
; k7 i6 j6 S# E4 n# ^
情况三:
/ K: c6 d% k) x0 |3 `此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
4 n  W* T1 `) |& i2 }
9 U" M: L7 F- I/ W. n/ {现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
0 C1 A$ ^7 y: t/ f9 T  o
1 e! f% Q  Y. M$ W) c1 J0 T* @由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 $ B' [' k: P4 O2 P# K$ |2 X
/ b+ [- n; M- M9 v9 }: X
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 8 A$ s6 `  I% W5 J6 V
: X, K8 Z2 |, q" O1 R0 i

8 R/ q; J3 k, \6 P情况一:  
- V% e" E: b6 `  L$ o& x& G假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
# `; A9 O6 b+ g2 _& l8 ~+ @+ T( ]( x! m# m
0 q" m) I' O; E: h1 K- ]

0 b. V* I( V& U) ^8 |8 g, J8 P1 B9 v2 ]7 k* u9 Q4 w
6 A) c: M! Z7 E- D+ `' C

! H7 l0 C5 k( V) T& [, a6 r这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
4 D  n/ R  x, r/ a6 f& I0 Z# y
+ m3 w; k$ a( w5 Y! U情况二:  4 X" d, D7 B2 ~
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 0 ?! r& D* W& n& c9 `. L1 @, J

5 g! h- M! w3 O1 R0 a( S9 h& f: T8 X, T
/ |2 ]2 S/ v" ?" `5 F) h8 K

. p* F5 K- Z, X: a& B, `* X: y7 L8 E: }% \6 F. B0 B4 c$ O- d$ L

8 S& I' x$ |5 ]( u, k% o这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 8 b- r3 L9 \; [# J2 H7 _' G3 Y* l7 Q6 }
利用p+q=1,上组方程式可改写为
& f( `9 V1 p! I8 j: t$ O
$ ?0 h5 j+ q) a- ?. @4 O! I5 {+ e% F9 g, O

: l5 a1 v5 q0 o* s7 C
# u: Y* n) n) t9 Z  s! l% e+ N
( {% g/ ?* G5 {: @: u2 Z. R; j5 H8 ?" I0 I" M' v
两边相加,并利用 、,得
* d. U" U1 M, [8 E8 @! @$ H! J1 }6 `8 F
5 g: m% _% o. L0 F

& K0 L+ d+ _2 {; a. u  ^2 t) X- `% g, ^) B3 ?

1 c4 a: j  M: a* P" r
9 V; }; y' B9 ^* W  p9 w) N" o若取前 c 项相加,则得 6 P' n2 y/ l2 R- e
( e( W2 z/ e$ o+ O, t; V3 h$ l
4 }& R, v3 X) Y' ]+ _) v/ I4 @% V4 Y

! U+ \5 K+ `0 {& {1 d, ]0 e
: ]% W& [& _; e: g( Q2 f" t" g5 ^7 s+ {& I# L4 I* Q1 F2 @

2 a: Z3 N  Z. e6 P情况三:  
, e1 y' y8 h* I, o6 M2 ]仿二之解法,可求得
5 X  G3 h, ?1 ~; a; j4 d; g& x9 L% A! i( u
+ z+ ^+ K! s. M( g$ |6 u; y- E7 ~

+ g% r& u# D- T* i0 f# y' Q
/ N5 ^0 Z9 A4 v/ V% z* _5 J" g4 l# M$ P# n

: L% U, d' f4 B$ _8 g/ J, k1 a2 W: P) }, `9 t, i  p  ?
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 6 [1 c( T% q0 w; |8 W$ x# L

* r2 x! c. G6 x& Q首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 0 G% }3 a+ q+ _, |9 J

0 M8 |# Z( j4 i. \% P4 G) {7 W' h8 H7 Q3 [( X' v
定理:
$ Q1 H/ R9 M$ a8 `$ o' {* b设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 , ~) w. M# ^/ G9 a7 j2 }
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。   C3 `6 d% \  S6 L1 a2 H
# A) u- T) b* o% N% Q  [) \; a7 m
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
: Q) X3 m/ _% y- i, F5 T* }
, i, q8 b  w$ Y  V首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 2 G5 m) s  i2 o
6 A3 l* v8 t/ V
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
$ `# G+ C- v" t( S' [" I
; K: `2 Q3 R' ~0 I3 c
" n- w/ ^. B0 E" T& n1 j
/ X. j8 Q' N0 v8 G
) j7 S/ b5 |* @( |9 |% Q0 @, [; j: n3 E7 l2 X3 P7 @

. v+ M# N; B4 O7 I6 b/ ]! A/ b7 Z% }6 @. ?1 |  f
0 W3 t  n. o% t( ^) @
其中  为所下注之金额。利用 0 l% T; f( y' w
/ y- _* b2 N5 D2 A; x
& C* O4 C, r# Y! A3 t7 j2 y& u
& L/ N! i: m7 B; J# j' X! o) F1 r

: d. \* l( v# J" }; F: j
$ x7 c, `. U8 J/ s0 C# G  N2 C4 T- [4 w1 F

* m7 D7 Z; ?# R  R' \0 L( A& i+ }; E! p4 f  Y$ _
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
8 \$ }- [/ P' W2 L) c1 @% {/ }! \/ v/ I3 u5 _

# @; w7 ^, n, v" W
: P6 T) J+ N- g: s2 _% K5 y
1 {  m- G  p% P- O+ w8 a% O5 ?+ h3 d2 {
& Q8 ^$ U9 M9 f! G4 O( H
" a8 {+ t7 m% K  S4 G/ P- K
$ N0 B2 w4 M3 h7 J1 K. g
因此可得在情况二, 时, 8 u0 v0 g7 |! C9 z

7 j% S  E* Z% ]- R) a3 _4 `- h) A/ N% B% {4 e' `

$ K7 o1 E3 V7 U6 Q' `3 C* z7 ~5 q4 f/ N1 x0 Q" Q
. r" V4 h" _" J9 J- L
( T2 W1 ^$ V( Q" i7 L( G; Q! u+ V

; H5 r" l# c9 {% A
4 i$ w- u- t  g  v而在情况三, 时,
/ q3 o. [. J. C* e  }
3 H* ?! H8 T( U" L9 r6 P- f: z/ Y7 z8 n) W2 U1 e
6 @' d' b) U% t( Y9 M: L1 K6 r

4 L. I- W- m' a! c- O( r/ S8 Z( S& o- p$ f* B
4 E7 n! V, P* F3 i5 T9 _

  e( X2 I- n( p; ]6 @8 t/ J* r" s  C6 q- m
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 8 r, U4 I0 O" w( z0 [

8 c) P# q3 {' E至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
4 T' L6 B7 P: L) T0 s3 V9 `9 I/ _7 L3 j
附录
, q  ~0 e" D4 O, o8 y* g" b! W# i. A
" A3 f2 i7 S  V+ O3 d
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
1 F3 k/ `" B5 A9 K- e5 O+ z
# H0 @, e& B  @# V) ~5 N6 o. @" {- v5 Z* @
% U( _' x6 c% S2 Q, P

. ?- T# I# ~* r& \+ S1 Z" A+ ~% b" R
# I! ^4 e4 d$ _* F' t! n8 a3 B. z- T5 Z+ `

! P1 U# _3 g( s" n- _) ~6 v; i/ m  A
2 [: ?" I# S5 g- d: L9 c另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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