随机赛程的最佳策略

引言

3 o/ g/ Z7 l, G. A) H在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

7 ^% I3 C5 u2 _; E+ \6 s2 i当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
+ C' o5 E5 m1 ^  L
本文


( J2 h) g# C5 r6 D- N2 S问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
- m6 _( z, {# l9 ^' u
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

: F1 Z: u4 I. `% N( R. a( W6 n" j
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
7 S# X; t" b1 t, K4 d方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
! `2 z8 |" z& n8 S% _' h- U你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
+-++,-+++,
# j) R$ Y9 v' X# n4 ?+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
! q* K! j' c  ~2 ?# d                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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0 i  m, x/ a% c3 P7 A0 W/ d1 `
, A7 K+ r& C* ^& d. n- D$ B
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, v2 Z- m4 C# S



现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

" C8 G  s8 G2 K6 O# B++,+-+,
: Q/ f- j6 Y; T8 ]  G" o+ J4 @; F-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
# c$ \: q" g% K0 z2 x# T-+-+++,-+-++-+,
0 V4 ~6 s, R: A: E# f                                 
, ,
# E) P2 R2 j% a  p% K                                                                                。
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3 i+ R* j$ I8 Y. P: Y( Z仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

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4 N. M+ @% l2 h
3 Z; N( [, z! k' U- V最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

: Q' V+ y8 j& v这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
6 M) K1 A+ \2 D: O$ Q
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
0 C0 B( m  A/ S& N& d
9 S5 `% x5 u5 n/ V6 H  e
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

; X9 [6 ^2 A0 B/ R) f情况二：  
3 [+ H1 v; {9 i! p$ O# F此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
) C8 D5 a" n1 w$ d; b0 |此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
# s: W4 x7 I; s& ]
- q3 a8 X6 {& M) l) `) T现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
9 d& R0 s0 v6 Z- m
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

4 k, m# {' `. [2 b如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
$ w: o! e$ v' D3 b* z
" N% @! D5 ]! |9 S( o6 w
情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
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' U* o5 C8 G3 g4 v/ x
9 Z3 B9 z! I, }" z: q$ q



$ ~+ U- \- E! ?这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
' V) a/ T, n) i令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

0 }- O/ T& p$ u" b- c( D



3 o' A8 R, u  @* P/ V5 F4 U+ C% p
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
  ]1 y# I; t' _, q/ I' B) P

0 D7 A: y* P9 s% |% o
' |( ?" t" C- M. C# H0 \4 ^


两边相加，并利用 、，得

7 p- b$ r; i/ o$ y

' o0 ^0 w( F& j, ^- D
( W1 Z+ m5 O; b9 |( d4 u

! s0 c( ]8 U0 C, L若取前 c 项相加，则得


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/ T* ?, J6 b  V4 u

% }4 u) T( t$ k/ L3 Q7 S
情况三：  
9 R1 O6 |, L- I$ @7 \仿二之解法，可求得
& B5 C8 x$ _9 Y
, b. q. @8 j7 P* h+ |

0 _* I& v5 _6 O, @

% _( [3 `* N" K2 h

$ Z* b+ e) ]+ P8 J7 A6 v  c; }保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
7 B, ?0 m1 S9 `) i

定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
& s, h6 q! i  _. l4 C0 r9 ]此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
2 X+ [: k/ W; R2 k+ Z
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
; d1 \3 k6 [6 m+ S' U4 g, j: b  b2 M8 s
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

+ o' ]' J7 Z9 d% n& U3 M: a: r1 U至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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4 S) j) Y5 Z  x- B* u2 Y- P
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4 W. f* ^7 d; K3 s; {+ ~- e
其中  为所下注之金额。利用

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9 V$ I: A6 e; p0 @3 I



可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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/ l6 `: T$ x) C% w4 S: T
( V5 S2 r% K1 Y1 X3 \


( g8 m, l. J  |6 t/ ]因此可得在情况二， 时，
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6 k- Y2 \8 t+ Q& @" a# n& D而在情况三， 时，


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1 o8 m3 U/ I/ j2 d4 C" c! S! G5 w1 B但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
% n' G- u# T, U/ w3 E( G$ M" j* }6 }
$ ~4 t, b5 T5 d# `至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
% R' v6 W  k3 ?/ e9 O5 H

% S) y/ X$ B& L: F: C在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

4 f* S+ V+ Q8 f; I. H% S1 x7 S


+ g; H- B+ q( h* c* v


! }% I& {2 E: y- b
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！