随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
( p/ i2 e5 O- b2 ~
问题
6 [2 i/ h( ]4 W6 g% S) K& b) e( N
( H( S! W3 ?7 ^6 V( l; l1 i9 \
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
$ k5 f2 U' {* d
3 Y# V( a. h4 Q7 v' f当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
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1 c. S$ b* o. x0 e( d/ w6 W9 n& @问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

2 a* c. I: }- u! B2 `% d* E3 P$ p为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
; `* g/ D$ o/ q

/ q+ S6 q: f! u7 C2 x) L+ S2 F0 \方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
# M. w# @( i- n& r) k+ \7 J方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
; q: c$ f7 m3 |' _9 d/ C1 O方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
$ K1 I  `/ ]* y5 w& N你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

% I* F, n. x! o& @# S9 L首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
+-++,-+++,
3 {7 K/ T0 P  @( w4 {; D+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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/ ]& O' U4 j% X5 p

0 X% ]+ a. h! p( x! P

- C; z+ M+ F  Y  O$ o
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8 T( o9 h5 q# D现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

) [3 T% ^- G) D1 G; S& v- X( Q4 Y2 C++,+-+,
% }4 ]: o, x2 e+ Y-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
1 |6 V' |/ Z+ q; Q  h8 d  Q, x9 \" H                                 
) `/ w5 j. V, O: H, ,
6 y& G0 o/ I9 a* h8 O; n                                                                                。
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5 L1 `* [4 f( r" O2 r2 b7 [# `2 n仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


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' w8 d# V1 `- C5 f+ }: |, ^2 m# \; Q% o% C
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% W) ~+ i" Z8 o0 I( A5 e. F, T最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
3 l6 L2 j1 h$ q  Y) Q: c
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

3 t' ?* n# d/ E5 `现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


% m8 I+ K. x6 u8 I; |& m情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
/ Z! g( s& A) J2 j
情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

9 ^2 h  ~! a. ^情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

! a# }9 U2 {' _7 N由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
0 I/ L/ w; _. @+ Q. L3 m

' e& {: ~: J4 q情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

' H9 a) `( C& G! K8 O# _$ }) `


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' R! |2 R$ j2 }0 P
6 ^* i4 s$ w1 M5 _- e3 r: i/ ^6 O这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

! e6 v" z8 \& q: e9 g- E6 [情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式




/ U: }! K2 \+ t- G/ ]5 D) S% \+ q

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
! ~- B1 e0 z4 u# _5 ~4 r
! {. m* _* U' n6 K; W4 |& Z


: n+ K6 Q% U% L% f6 u

两边相加，并利用 、，得
) Z8 [5 n9 L  i; [





. `& V0 R8 V1 y# B( ^; i若取前 c 项相加，则得

) s! [$ V5 p6 s+ R9 W. Z) [; E" g

! R, M8 {  `5 K8 Z; m1 D) U


情况三：  
; Q# o& l4 u9 K0 c' x2 k仿二之解法，可求得

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% z4 E& {9 @% J9 Y, h: O; E/ t: b! m



+ s, m: y' G; e# E2 G
9 z) Y9 R" c6 [8 L6 y保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
4 x: L' O$ K; r设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
* D: ^5 ?9 a: p0 `
9 n4 }; F3 [% ~8 I- g' t现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
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. m1 G3 Q- v0 l& r6 s3 ?! o首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
1 T+ S) s; C+ I6 {
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


1 Z% o1 c, x" S# v: U





  n; a( R4 n; i6 _% `: z其中  为所下注之金额。利用

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4 ]9 y9 k) t0 [9 S4 P9 S


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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' i* S0 k" w, \5 L$ B
因此可得在情况二， 时，



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( U' a, j4 x+ N. r
9 A0 ]+ g4 h% {+ _7 k3 w而在情况三， 时，
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! L4 A4 C+ v; L$ C; y" G: O$ X
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" m* d, J3 u7 L3 l
! E. ^2 K. u! T5 }' o8 z+ W2 R

但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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5 _2 O( Y6 }/ J  M至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
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4 L! \( D- M4 X' T" f0 @
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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: }: p& e. T; g/ I% v, |: k( q






, ]3 m& I, Q( L$ s2 q* ~# Z7 v+ l另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！