随机赛程的最佳策略

引言

# z* G1 k0 i. ?在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题


9 |6 w, L) D' ]有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
) h9 Z2 I8 Z' t, _0 x# ]9 R  l
" J! `3 p. x1 g" @当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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0 V. J4 A  Z1 h1 B0 q本文
  g, N5 e7 B$ Z- Q% G) L5 D
- `. u1 T2 _6 ~5 {
& f4 s" t$ a: B# r: f* `* S$ I/ ]问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
" j' A# T! L. J; |4 Y* K
6 U2 H6 o7 V+ r- P4 N" b% l/ L% d为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
  V1 {2 M( y+ x9 J8 C7 Z
0 w" g9 J6 i  t& d
( y* Y7 A( B) S方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
* B# J* \% f/ m, A% r0 Q  i/ J方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
  k) _* |: B( s/ e你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
7 U3 d7 M/ K/ ~) ~4 t5 q0 m
5 J7 `5 _/ d* K! ~6 U+ j$ n首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
( q( d( Y/ ]2 ]+ T. {- _. ]在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
8 j8 j  q* }  q4 ]3 ?/ N




) t. ~! q; d6 I1 F0 @; I1 {' B

) i- |8 h" K) i6 s& s8 v. V% @


+ |# s3 j" B; @" p$ Q现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

4 s. U# A0 U% f% \++,+-+,
: w0 N1 L/ C2 j; {8 ^! ]- t& M' b+ ]-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
% u5 i: V& K* r; X9 j- t) S+ }$ q                                 
3 S/ w1 W5 b2 U4 w3 u, ,
; f; L* v% |. h% A- Z3 L* A; U5 u                                                                                。
7 H, E) ?2 m% W: M. \
* \/ d* R! a) f# E+ M" S2 h仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


1 R1 o+ _2 K) z' j% C. t. \1 b
2 T; \6 q0 m- \: f




最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
% |7 X9 X# W1 A; ~# L1 u
! Q  T, [( Y8 s+ R# N5 q$ }" u( L现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
0 Y* ]- h* @* r7 W- K
, H# H$ J' x7 B7 a这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
  R3 M" a  D6 \3 C; q- n4 t
9 ]- ]) P2 L, L5 Q" ~现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
: h! ?# t, s) v, r/ M
) R0 Q# Z$ s7 U: `  L4 N, B, `9 ], Z
9 {' ?6 n# S7 {; I% x4 c5 V情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

# Q  w& S3 m% ~& A' ?2 x  W% U情况二：  
- ^' G$ O7 T& j6 `: X# l- H6 M此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
+ ~4 U! b3 h0 o# B
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

  ~8 t: Y. w& H# x' A! d' `现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

' F$ }% F4 ^! K$ Z; R! n1 {& H
* Y( K0 j. F2 ?  p6 z情况一：  
6 V/ L! n0 a: h! [! j假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
3 V( [( C3 Q- ]* s7 [


  v$ p6 V+ d# J7 Z/ F/ Q1 s


这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
) y! ^0 \! J( V; K
1 t1 O* W& X- ?  B' R情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
1 {' }9 X1 _0 P2 I6 m; a


6 _1 r' J1 E% `! z8 Y

3 _. A: o0 D0 ^+ z8 l3 V! R
1 O2 @& b, M& @这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
4 R, _( }5 k( t' }# H利用p+q=1，上组方程式可改写为





% h6 c( H* R4 g/ N/ K; ^
两边相加，并利用 、，得
$ t- S" _) O" x, \+ r
% h: B9 X9 z  n* z3 S8 U! B" b

& |0 ]  |$ U0 i: e3 e" z
5 L1 S" T* W5 Q
; q5 V, f! X8 t- M+ Z& ]# D7 y* u  X/ H% N
) J) c$ s$ _5 e3 G# P8 T4 C- y+ f  M若取前 c 项相加，则得

" q6 `+ M: ^: Q4 g' f$ T
- A+ I; X0 Q8 D


& Q" G) y7 @& U& o0 p
情况三：  
仿二之解法，可求得
8 L8 Z+ S& }! |! ^/ F


6 Q" ?6 \% d& e! w& C

2 ^# D6 s  n, _4 z6 w$ v* K
: g, H  C+ @8 m" x! V4 s
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
& |; k& N, y* E& D( j) t) S
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

4 B, G. a+ D  N$ Z. J
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
' D4 d/ B$ _/ u: z1 O/ a此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
! t* Q* v  {$ J9 W: ~
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

' [/ ~# X: A) C3 O, B. Y首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
/ p8 j5 w  \+ Y3 `3 c7 X
0 n% T8 R% @7 {5 \至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



4 l  R' o* H$ O6 K' N


1 m1 ]# ]( T  X/ v* S# ^
+ A6 }" y$ N; r6 c4 r" I
其中  为所下注之金额。利用
9 |7 Q% ?  `' z8 e( Z) B% P

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- B9 n# J0 q6 o6 ]. G2 c& f

  Z8 U0 |2 E; `) D, G

: A+ A( C  o6 g9 `7 z' K
; w+ l/ ^7 T" @: m: A1 L可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


* ^3 q- @; b4 n& z# R
6 Y+ P4 N- r2 @+ i" x

% Y- Z" E- ^& \- Q
# L) Q  V$ O  g2 A0 Z: G
* x5 m  \2 M5 g: j
/ H8 w" c/ m3 k' I. h6 B因此可得在情况二， 时，
0 V+ A& H# p% i


0 D2 ^; V/ y# V( F

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  B6 T, `7 Z9 J. z
7 h0 M# ~3 Y' t! ^% ^( }
. w! W* \8 H/ g8 w而在情况三， 时，
3 p1 e5 O  n0 I  t# `- u* n& E

& K' n, c3 [5 f& F8 R



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' v2 t$ ~" B7 [+ F8 }
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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+ b8 P6 s% ^" J附录
% u3 L; Y* S) n1 I5 G. j1 f

* c  t# K* ~1 }# X7 b$ j在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

$ e$ f7 S) P, X8 E# G$ Y9 d1 @4 P

, M# \- u. ^# H6 s# ?; P
3 v# s( o' W* x5 d6 Q

9 w2 i) p3 V6 i2 t5 Y/ a2 }0 W
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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！