随机赛程的最佳策略

引言

# G8 K0 _* j1 Z在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题

1 b8 o0 s4 [, A1 _5 g; f8 R
3 x2 h! g  H  i- Q* v- Q( b有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

# i# F7 Y$ t8 I& _, T+ g当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

' _. n3 k9 l8 C本文
$ a  h# e' }0 m7 z2 u' x, J

问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
) G$ u" K4 C1 S. H  E
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


7 o% G! G, w4 H7 b7 `8 D9 R方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
: M3 |9 c: \  @& V9 ^2 p' B; R) w4 b
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
! x9 }* k5 S# G3 I
9 K! A0 c, H0 E/ }. k  e+ j$ S+ D++,
% I) z$ `" j/ c4 Y6 I- Y1 F+-++,-+++,
% Q2 O7 S& R  q2 Z+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
. m5 Y6 k1 r7 B( h/ C                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

" N1 m0 ]( D3 T7 L$ w# |5 k% x. S3 h
  i, `* R/ Q& Q% Z


# K7 m. q. [1 m. u, ?6 f
6 l6 j7 n( p( P) }



, l- ?- r/ Z- Q2 A现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
8 ~$ |7 ^3 G) g! y1 ?! H-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
6 t2 T5 P; [& o4 [                                                                                。
- U* }6 K) K; m4 ^
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
  b& I* h  u. {) T2 F

5 }& F* a* f  W& z5 w2 W/ C- \
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最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
2 T+ W6 Z2 {1 k$ c8 b! y
9 }% M# @2 L, T! b6 g0 ]9 v现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
1 {/ |$ w' y5 u3 u
& a9 s" c2 z" ?$ v1 H% s' i这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
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& [$ w6 x( R! W# b% k现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


* ~+ K( Z+ g4 ~' e情况一：  
7 `; F% m, `0 M" K% E1 U/ M" B: L此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
7 }! N) N9 i0 x' q/ Q
+ N8 F# I! `. b  y1 _1 v& T情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

- |7 e2 P* R. P8 N, i, x情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

- H0 d7 y2 Y/ v1 H+ L7 z8 W* Q由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
0 ?/ |! o8 ?) U) u! Y
& G! ^4 k* o; Z1 b: `" U如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
  b- s% s, z7 B7 W0 K% G3 v: f1 {# i8 I9 ?假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
- K: m; d5 E% s" w' g! B5 m8 e


# Q0 _. H9 c/ f7 V- q
) O' c8 ~, z1 F

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

1 O4 q9 `' m/ I# t, ?4 {情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
1 |0 k4 ?3 c& V" v$ G; N
4 o, M; x7 T: B# T/ t" w
" M, ^. k- K2 S; c6 G& N! |

3 E) t4 x: |- f
* f/ j, Q7 {6 ^3 _9 v7 v
7 p7 B. g$ V2 l: S( h这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
9 B. j/ @% z& a利用p+q=1，上组方程式可改写为

7 e0 _4 a4 u8 `3 T
% ]1 Y, ?2 M$ g2 t/ W  R; Z

6 v- j( Z% D& E' s9 y( U. g0 |
" }) P- S+ j- a5 Y" y1 S
/ L: s' A0 E; o2 `. h2 T两边相加，并利用 、，得
5 Y( L- @: @; A( R



/ S% n9 _/ j9 i* y4 E# O0 Q& [5 X
: |' \: H' x! E; _% a: D
若取前 c 项相加，则得
. I+ W: \3 b2 _6 l. ]5 d
: _! a: N! z0 \- K; t3 F/ u
2 w+ V3 _2 T/ h2 |
3 w5 O% ~& s* t* L1 @& y: d
1 q1 g) c: p& F- ^7 `( x  N. s  W6 ^

2 u5 X( A/ S% r8 a4 M情况三：  
. V( [+ y2 n/ @! b仿二之解法，可求得

0 A" S8 ~1 r, D, f3 b
& n- A0 X* Q4 T8 k
0 l, S2 _2 ~. E5 ]
( k4 x* \. S$ G+ e5 A' x8 H

8 b0 r* ?$ _" ^+ I: u: A+ r( ^
. ^: H( O; Y( J5 D6 ~保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

, t! x. L, i2 t+ w+ r  a1 E首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

1 u$ h9 z0 `) W1 Y9 l* t* E% a  q
( h* f) r! {! p& t; L' u定理：
9 ?: w/ [5 ?% [8 L设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
2 i( e" C) C1 A0 W; n. w* e
/ v  [+ v2 X+ h# B3 [' d, E" \首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

% w, B: Z0 Z$ f1 Z至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

0 m: w; v! j* v$ z

7 Z" j6 C' d. |; J/ \  v
6 `! H/ D! S6 @" v. ~8 i


! \+ }* `; V- y3 r: W$ Y# v% e
) ~: h1 I2 T1 Q其中  为所下注之金额。利用
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6 x: S5 {* @. \' B7 S0 P+ a

3 L/ G* h6 x3 Z


  w' g6 p; i9 k9 a) v6 d3 j可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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& L% M* [$ w  R! N% |



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因此可得在情况二， 时，
  Q& Z5 _8 e# W- I9 s" w- {/ r
' X8 |# t, L% ?( Q# N

2 E$ M) z' q8 `3 W) ~4 P2 B2 r, N


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" _. l, p2 @4 a7 _- F& e6 N
. ~+ @% u2 N# ]# E) `' \1 C6 _  U而在情况三， 时，
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( D2 N6 K' C. U" D# t5 ^# t


3 ]% J8 X- y7 e3 @5 `3 f6 g但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
" d! e$ f( @" ~' p% E! [& o
8 k. N/ O3 E2 _" ?4 _) u, _至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
  Y. N) }& \. K% ]5 H
2 n, t2 J, Q- D4 g. ~附录
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& u2 @/ }1 C# L2 R! S3 Y在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

% U& s# m+ Z, C- r




. _; M9 c; L  b: L$ U8 I! D5 s

7 k1 m* h9 K. q" L3 Q( @) S另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。