随机赛程的最佳策略

引言
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$ ~( I& z9 g; W" C8 }- A& y9 L( t在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

( ], p' ~6 e" P4 k& E问题
; L+ H9 M% m  p9 n/ b" b

! P0 W2 ^, p& p有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
( B9 K' R9 g6 v, p1 N
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
( t1 d8 {+ @5 s: E! V, W
. A6 v- X1 D* g. S! \
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
/ b, T1 t$ Q, o! [& X
4 u* ]- `& Q1 L) {8 q++,
+-++,-+++,
! k6 @3 n% v: ?) G, k. r% O+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
3 R; L" q" j) G* m5 A- _                                                                                                。
/ K1 S) _: |8 o6 J, U在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为



: M  k4 f9 f) o9 L


# q- m( X4 r+ i" T! o4 b
8 r/ b9 H/ f$ h' Z
- L! P  |3 E# W
7 z' c  T+ k7 V; T
) b) Q+ F' a( d现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
" T8 Q( l, u* `+ s3 X% E2 N( R4 A8 v
1 W, J6 U) L0 z9 D3 r' b/ d+ V++,+-+,
3 q" ~& m. ^: C/ [" e! {-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
7 r4 M4 @: r: a" ~-+-+++,-+-++-+,
                                 
$ [7 I3 s  E; A8 b, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
- A0 z' \* X- B( }5 b+ ?8 P$ U/ ]



* G0 ?7 G9 _2 J2 d7 F% h

+ @  r( @% p5 G

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
! T% C- P& W9 K& I4 g. e
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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6 B9 K. |. }4 Z这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
% @$ F9 x+ n  P- \6 f. ^: J
3 q, C$ r; U0 U( b4 G现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
6 t2 k. {# M7 ]! x/ l, p

情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
% @) L: B* `, V- U$ r5 e
7 Z3 `$ ~$ A! s, X情况二：  
3 r& @4 {! O! @* ?  D此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
) @+ v" W1 F; S此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

0 T- p# _. ^# q& b$ G# m* L现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

6 r7 ^+ N, ?4 m由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


: j; v, r! d1 l7 E/ R情况一：  
4 _* g3 |% k, h' d. |4 }$ ^% h假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此




* E0 D* K4 G1 I, j. B7 q
1 g9 O1 z* Z0 p! Y/ C+ x7 P
# @# m; k% ?# \( c+ D' B1 E) @. l/ b* h这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

* B# [$ S+ w6 v! V情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

# x( l  J) X( P9 K

* f9 @4 L9 w+ k- n( H1 X5 J: B5 h5 _
1 E7 E9 y, D) P3 Y2 S

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
$ x4 J6 `# H( I/ J+ x+ h" i8 H+ C利用p+q=1，上组方程式可改写为


5 Q- a, s8 |: ~, g' r



两边相加，并利用 、，得


6 u8 c9 w" J' ^


4 I5 j% Q% j4 o4 |2 W
  G3 \2 s& U6 ^& y. N, u若取前 c 项相加，则得
/ q7 V8 S3 `! ~( k
2 Y( }  b& x+ _
$ ?! I" w+ z. L, p* E$ o



& b7 {/ U2 Z3 h, D, m情况三：  
. W4 @  N: w& |5 |/ Z" Q8 i# \仿二之解法，可求得

( u7 v' T) R. V; W7 y0 E/ Z, u

$ {4 W6 G2 }+ y# `' y. L6 `


( s" ?' f6 p- A3 }7 d
5 A) }+ x, v6 B, c1 o$ F0 c$ E保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
# D2 p- ~4 r6 S
: p3 ^* f8 H- H5 Z( R$ J# p4 t首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
" E6 M  K( E# U$ I' C9 D# a
( k8 @( I/ g4 y( x: Y# e9 h
定理：
8 @. ], `+ V6 Z9 L设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
5 R  G( X+ K  ?+ }此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
& b7 q6 @1 I* K) {
: w' N/ c: a4 I9 c5 A现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
3 K% r$ Y0 o4 V$ m& j2 a
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

4 }- ~# j0 B9 J' T至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



; i/ n- H) r" C+ g3 K

' F9 M& k. f  m6 P7 u5 _' Z
4 H1 T: b. M  R% G! ^

其中  为所下注之金额。利用
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! f) I- B+ i8 x5 S% J2 l

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% }$ v2 T/ D$ u# Y6 s5 K
# G; D' a6 x* b$ l
& c  r2 o  C7 G/ t) S; z可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


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3 i  `; R! m1 W! B3 ?因此可得在情况二， 时，
2 E$ S3 r9 \& J- W2 X  p3 |



) P6 `2 E+ Z/ s
9 q# [& ~) h$ Q; B6 U

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/ u+ }! H& P- }4 V. M0 \7 n而在情况三， 时，




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但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

* e9 ^& g7 g* W2 k至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
! E  A: j/ m5 l4 V3 c

2 ?/ c# h: x4 n4 B在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！