随机赛程的最佳策略

引言

  C( k, Y7 _) t$ n7 o2 s6 b4 M在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
0 c: o1 G, T. T8 o1 m% t6 W
问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文

- k4 K  W6 r6 i' A; Q
, w; F$ T+ M  M" F$ b问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
! H) e/ I- j7 ?& O5 v) E

3 m; M" U; E5 w+ Q" \& e. |. C方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
2 e( n/ K  f& [5 O% x5 _方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
* ?" Q' G: P+ j) c, f9 l' s/ D方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
) p) d3 f  j- c* `
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
- M/ m0 Q  n( {9 J2 h
9 G# U. N) ]/ z6 N4 e% t" ~++,
0 S0 r2 o' t) h. q4 I+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
# e! ?  n" z$ {( z3 j                                                                                                。
& W3 ?9 V1 g% L5 {在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
; a+ j& j! l' X$ |( M7 o! R( `





8 s2 t! F* G% }# @

3 B9 Z4 h3 {" J% Z, Y

  |* K/ [, u6 r) {& ?  W现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

/ X0 A. E1 y6 I5 k4 z5 B++,+-+,
% e9 `; s, F8 S; Q! k$ \-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

2 v" C# ]4 M4 N  y0 x
# R8 b4 z! I4 f+ b, P! F* ]$ T4 G8 N

& I" ?) \0 |; }# x  L- Q/ l


% f- p3 R5 |& X# e, g; H
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
& c0 \+ s) C$ }5 C0 D0 W
6 n8 S* t% s+ ]这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
- d& r( c2 a  n& h' Z" y9 b2 V) b2 R
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
, @5 T( A% L  n

7 @! c+ n) h1 ~4 g5 }2 r- V情况一：  
- }8 M) x1 r6 a. |# D# [此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
7 D) ?. E9 B. u% g; {2 T# M9 ?. M
% b6 @* C2 b% C/ L& W% ~情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
) Q* K% O: @  j) g/ Z
& V$ l( u& w2 Z6 [& Z$ c情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
- [% [. J( _, W" Y
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
% _4 x  p' Z% ?% h  J1 H
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
8 G6 b7 `3 F) V0 S, _
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
2 O! K; j5 e% [5 A

+ o$ R% Y- [3 a& h情况一：  
: N' P' I+ u( m# ]  v" g假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此



$ C" N  h( P6 `2 f5 a1 n  u! o

# ~+ ~8 T. ]* p" N+ o! l: K% I
; _0 n# X8 @$ [/ [9 J$ w7 p+ P这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
0 Z+ Q! |4 `  I6 o令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
9 E9 a$ O: Q, f
" N' h) M) A3 O( Z3 t- Z
% ]; g) a* `+ y  ~8 c. v

% A! K- e1 h1 V' ?* h
) m+ J. l, d& E# S# Z/ h
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
0 q$ `6 G" m6 |# t0 h8 R8 T/ C利用p+q=1，上组方程式可改写为
9 t$ \" @* l9 z: E  N. q
4 {- h/ x4 D% P* }! M7 l

, e) w( P; }; v6 p9 G# |) X! Z
; l2 ]$ ]* g* L. }1 h
" |4 _" W. P5 C8 l+ y% W- K; A
两边相加，并利用 、，得
8 H' S+ M3 P; Z. O; U# d
8 {* L5 z- ]7 l* {. w3 m
% y% ?' R  ?- p7 T


$ Y  x1 J' @8 p; d( F$ d6 R
若取前 c 项相加，则得
3 h; W4 e5 \* a8 k+ n3 ]

. C+ w4 ?0 x  f& Z8 @


' v' T8 w: m5 h( E3 T1 `; D
情况三：  
仿二之解法，可求得

; A/ w' q9 V- k5 [
, Z  v/ h* F3 a- p% G




/ N% X1 q5 f, Q- @, {1 h) `. t保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

# A, ]+ @: I  E* K首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


$ {% W6 n$ U4 |, |. X$ _' b* d2 A3 l定理：
, U0 F: C9 A' g  M: W4 k设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

% K) t+ ]7 G% o; m! s: C现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
# U& g6 v0 m- ~2 }4 j1 |5 I
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则





6 ?# o+ s2 ]4 g0 b1 f# O! V" b

! Y3 u/ R) f4 e' y, t
) ^4 M$ A' k  j  c/ p1 G4 q1 ^其中  为所下注之金额。利用


$ k7 Q# p9 R/ c3 K
6 i. n* v6 B# V& u; G& Z0 s

% q' Q: V; K- F. q9 V/ F
" d, G, n# S9 L# k7 n
! c( u9 }2 h' x- l! Q5 m; G! p5 ~
* L* c2 U9 Y$ f$ ?$ m" |; c' b+ Z可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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3 L1 W0 ]$ j2 M* o6 e* H
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& L2 z; e( ?) D8 E( Z
- }# b/ r( y2 F" d2 f* B因此可得在情况二， 时，

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5 s" O! H- C  |0 S% D
. b: q$ Y$ a, `" I: _1 \% }9 P



: j- o, d: i: j; u" t  N
* T/ @% `$ Z  Q" U* b0 K而在情况三， 时，


$ ?  W+ u1 S! X' ^, Q  o+ k  M

, J' w' U3 L0 N3 k8 g: n9 o/ ?



6 ?3 h# Q3 ?5 y* w& i& J, A但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

# p5 s5 R0 c; O+ ?& m7 I, a% [附录
1 P# y- w$ M. P, R% ~8 E$ x

在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为







+ k' _/ D; M" v: ^
( @" _3 E% Y. @另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！