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了解机率和或然率 3 R8 \% c4 h" x# N" v
概率,也就是机率,机率是属于数学中或然率的一部分。或然率可用於我们生活中的每个部分:
( M: T, R4 ]4 x$ G8 n; ]% N. C天气、科学、商业、保险、股票药学等。明天会下雨吗?男人平均能活多久?医生,我有多少机会?它合用范围很广,这个在数学中重要的一环,和DB及对DB的分析息息相关。 ) K4 ]+ l `! x" @, h- p5 l
1 J9 B7 M. H" F$ X! }7 l0 H" P
一堂速成的或然率课程
! p( c8 b6 l# P, I% c/ e那么,什么是或然率?它是对机会规则的研究。大部分的人都很熟悉它的基本概念--或然率可以用来衡量一件事多常发生,或者更精确地说,可以期望它发生。虽然有些或然率专家们试著做统计,卻始终无法肯定;地球被小行星撞击的机率,或者一个小孩长大后成为百万富翁或奥运选手的机率。然而,其他的机率,包括DB中的机率,因为涉及的是我们知道全部结果的机制,因此可以准確地预测它的或然率。如果你丢一个普通的铜板,你掷岀正反两面的机率是一致的。丢铜板有两种结果,因此你丢岀正面的机率是1/2--每两次你有一次丢岀正面的机会。
6 X6 U0 S$ p3 o所以,机率对一特定事件(我们称之为X)的发生来说也是一样的。它把X可能发生的数目,和所有可能发生的总数(我们称之为Y)相比。可以这样来表示机率--写成P(X) ,读成「X发生的机率」--可以比率或分数的方式表达之。
- a% j( G% ~ N& N% J6 B7 _P(X)=获得X结果的数目/所有可能的结果(或Y)
8 N& X r9 U+ u! T" l所以,在一副标准的52张牌中,抽中一点的机率是:
. o8 a! |0 X' m7 y5 OP(拿到一点的机率)= 一点的牌数/所有的牌数
% |; _! }' i" }5 l+ d5 u v = 4/52
2 d7 H; R' z2 C" | i; }' ~' q$ @ =1/13 " D: W& M+ X% W; X$ S& X5 q3 V+ p
2 m* u, \3 L' X1 u, \) L
* s7 D' q, s( |$ }' G其他任何一种机率的表达方式
' t4 y* b/ F+ b9 I* g( V机率有许多表达方式。虽然它们所指的都是同一个东西,但是在不同的情形下,某一种形式可能会比其他的来得方便。我们就来看看在52张牌中拿到梅花的机率。 " g3 _ `8 d: w& ^: Z4 r$ `
P(拿到一张梅花)=梅花的牌数/所有的牌数 9 @+ V& u/ I2 Z4 |' v
=13/52
" e! e, ?* `& n2 g8 K- x8 F =1/4 $ p& r% C, `9 ] l) G1 Q; y% t1 }; @2 H
首先你要注意的是,13/52这个分数应该化简成1/4。一个简化过的、较为简单的形式通常看起来会比较顺眼,也比较有意义。如果你在书中看到一个机率,没办法一看就有感觉,那么很可能你必须先化简它。 % w1 H$ @* X6 ~( Y
让我们来看看几种拿到梅花的机率的方式。我们可以用小数的方式,0.25来表示四次中有一次的机会,或是说有25%的机会拿到梅花。 ' B/ Z; H- t9 ^1 H
当人们说机率是50-50,他们指的就是两次中有一次的机会,也就是有50%的机会会出现这种情形,而有50%的机会不会出现。表示机率的时候,有时候我们用分数,有时候用小数,而有时候用百分比。 * B, ~7 p9 E l. f; P' O4 Z
表达某一事件机率的不同方法
E6 \9 F& M, W2 J# ]! ~1)事件 抽到梅花 # W1 |) Q" B# e3 `4 O. ~
2)敘述 梅花的牌数/总牌数
4 A. h" K1 m. H' U, {* o3)分数 13/52=1/4
5 h. p, M7 n2 e6 C( E" H r4)小数 0.25 ) l- Y: g9 b, B* ~& e6 ?
5)百分比 25%(小数X100)
3 y C4 E9 t, O, N5 d/ Z6)发生率 四次中有一次
" ]; }5 r5 `9 e1 I, g# l7)比 3:1
% \8 j! a' d. n0 Y) h" S
" W' }2 o, \" Q基本机率法则
3 P4 e& L. [5 q$ y7 g) t _如果你能了解以下的规则,那么就不难理解大部分对DB的解释和分析。 J4 H% J6 S I* ~8 y
(1)任一事件发生的机率必介於0和1之间
: A' m3 O0 C/ F ~当机率为0时,表示该事件不可能发生;例如:用一个正常的六面骰子掷出7点的机率,这是绝对不可能发生的。 8 Q+ R' J3 [1 Q, x
当机率为1时,该事件百分之百会发生;例如,用一个正常的骰子,掷出1到6点的机率即为1(当然扣除骰子边沿著地的机会)。
q& ]! X. k! U! R机率永远不会有负数--0(表示该事件不可能发生),小於0的数字不具任何意义。
& s5 d h' F( c0 n5 q(2)一件事会发生和不会发生的机率总和为1
2 N' A8 V- L: z7 [6 I为什么呢?因为所有结果加起来的机率一定是1(100%)--不管是不是你要的结果,一定有事会发生。 8 z( E' k. u7 d6 z- N2 q
例如:用骰子掷出2的机率为1/6,加上掷出不是2的机率为5/6--总和即为1(1/6+5/6=1)。这看起来很理所当然,但是当我们间接推算机率的时候,这可是相当好用的方法。举例说,你想要知道在一副正常的52张牌中,抽中梅花的机率是多少。但是你並不了解整副牌的组成元素。你只知道抽中非梅花的牌的机是3/4。其实知道这样就够了。 , G' p1 K9 C8 g* k8 r& l) c
P(抽中梅花的机率)=1-P(抽中非梅花的机率) 6 b1 N( E g/ A( |5 ?
=1-3/4 % [" L6 N7 V" x+ ~5 D
=1/4
/ U% u' \! z1 e+ d# p' U' ?. l5 V4 h) U1 b2 Q8 k0 d4 P
(3)连续事件发生的机率等於各独立事件机率的积
% F1 ^4 S9 ]; f g4 y7 C7 S: }3 b是的,这听起来很复杂,但是你或许已经很熟悉这个规则的运用方式了。这么说吧!假设你想要计算连续丢出两个1点的机率好了,丢一次骰子获得1点的机率是1/6(共有六种可能的结果,只有一种是你想要的),而掷出两次1点的机率为:1/6X1/6=1/36。每次掷骰子都是「独立事件」(两者互相无关),而发生这种「连续事件」(丢出两次1点)的机率即为二独立事件(1/6)的积(即相乘的结果)。因此,这连续事件並不一定是要同一颗骰子丢两次才行,如果同时丢两颗骰子,也可以构成连续事件--因为两事件各自独立。 ' c8 F# |7 T0 ^9 v$ F: J7 e4 f
再举另一个例子:你同时丢一颗骰子跟铜板。那么,你丢出铜板正面且骰子为1点的机率为何?此为二独立事件,该事件的机率即为两独立事件的积。丢出铜板的机率是1/2,而丢出骰子1点的机率是1/6。因此发生此事的机率为1/2X1/6=1/12。 ; n6 K; s3 D3 `* l& y* A6 V9 K) O
, n; }1 T, F2 [; F(4)两非独立事件发生的机率亦为两者的积,然而,当事件发生时,后发生的事件会受到先发生事件的影响。 ! r8 X/ I: @, @ y% N
这又是个令人困惑的说明,但是如果举个例来说就很清楚。例如:你想算在一副牌牌中,连续抽中三张梅花的机率。它的机率为13/52(52张牌中有13张梅花)X12/51(一张梅花--一张牌已被抽走了)X11/50(两张梅花--两张牌已经被抽走了)=0.0013或是1.3%。如果你在每次抽完又把牌再放回去,那就变成独立事件,抽到三张梅花的机率13/52X13/52X13/52=0.16或1.6%。
& \2 F4 x5 |4 c, @
' R' E: b8 e2 ~7 r/ Y. Z经典的机率实例
2 I9 E" p2 j) a即然我们已经了解机率的基本概念(不是吗?)我们就来看一个经典的机率实例,让它告诉我们现代机率理论是从何起源的。 % R$ m4 M% L8 I* z+ l
在十七世纪,一位名为薛瓦里耶。德美尔(Chevalier de Mere)的法国贵族,他是一个用骰子来赚钱的骗子,他跟对方下同等金额的注,赌说掷4次骰子,至少有一次会出现6点。他的理由如下:
8 y4 p% v4 Y! A8 u2 i2 Q# yP(6)=1/6
& J+ |# V" v/ I/ Q/ i+ {P(6)=掷4次的机率=4X1/6=2/3 5 h% L) d% C; r/ \- I
他的这种赌法赢了不少钱。虽说他的推理是错的--我们等一下很快就会看到--但是他还是佔有优势。(你已经知道他为什么错了吗?)
: a/ @7 y8 m8 }. V( q8 O$ L5 G当玩这种游戏的受骗者变少后,薛瓦里耶开始改玩另一种赌注。他也是用同等赌金,打赌在掷两颗骰子24次时,至少会出现一次两个6点。他的推理如下: & G# \2 ~4 ]5 l k# A
P(6,6)=1/36 5 N' f: ]: p7 \: ]# l' H
P(6,掷24次中出现6的机率)=24x1/36=2/3 ! _ ?8 M' K L& c" ?; S* B
但令他惊讶的是,他开始输钱了。所以他就问他的朋友--数学天才巴斯卡,为什么会发生之种事?巴斯卡觉得相当有意思,就问另一位数学天才德佛美。他们的想法一致,因次就創造出现代机率理论。(而我们竟要感谢一位骗子的老祖宗!)让我们来看看他们研究薛瓦里耶的问题的结果。 - t" t* N" Q# r8 j) B* a
在第一个例子中,我们知道 在任一个骰子中,掷出6点的机率是1/6。但是,解决这个问题的真正方法,是要算没有丢出6点的机率是多少?很自然地,它就是5/6。所以,如果薛瓦里耶想知道真正的结果,他得知道 掷4次骰子时,没丢出6的机率。每次掷都是独立事件,请用上次提到计算独立事件机率公式,我们就会得到以下的结果: 6 P) Q6 M* H- C7 F% g* y- L! u
P(4次中没有掷出6点)=5/6x5/6x5/6x5/6=0.482
' N0 D1 W5 g4 @- }6 A! v这表示有48.2%的机率不会丢出6点,因此薛瓦里耶算错了那个赌注。现在要算至少丢出一个6点的机率就很容易了。记得,有些结果一定会发生,那就是为什么我们用1减掉0.482。
: s' M0 o* W4 X2 e5 oP(掷4次骰子出现一次6点)=1-P(掷4次没出现6点的机率)
" E ~) c; b4 ]- a5 o =1-0.482 : G0 F3 m, n* u) _$ C8 v+ C
=0.518
% h, T% u4 C3 h! e9 l0 j所以,薛瓦里耶有51.8%的机率赢他的同等金额赌注,这就是为什么他能赚钱的原因,虽然机率不是他想的2/3。用倒回去的方式解决这个问题,虽然似乎和直觉相反,但实际上是比较容易算的。 , V5 N: p0 p7 ]
薛瓦里耶最初的理由也是站不住脚的,如果我们再往下看一个步骤,用他错误的方法:如果掷6次骰子,掷骰子的人必定会丢出一次6点。很显然这是错的,也让我们知道为什么要算没发生该事件的机率是合理的。
, f1 r9 g' u3 p 现在让我们看看薛瓦里耶输的那个游戏:他想知道 在掷出24次骰子中,同时出现两个6点的机率为什么不是24/36。同样的,算出不出现的机率也是比较容易的:
! ]" M0 k! t: g0 {9 O% F P(掷出24次骰子没掷出12点的机率)=(35/36)^24
0 X$ u+ o, w1 l- ?3 T =0.509 . v: z$ w g. |
因此: # _" [5 h1 F5 u/ i
P(掷出24次出现一次12)=1-P(掷24次骰子没掷出12点的机率)
7 Q4 f" w& P% g, g8 j+ }1 i4 F =1-0.509
7 U2 p# } x# f4 ? =0.491 , b6 ?8 O- B4 ^/ r2 d
/ Q" O; k& V2 j+ r9 E' l( L/ F |+ \
啊哈!薛瓦里耶在第二种游戏中的机率只有0.491,也就是只有49.1%得胜,那就是为什么他会在这个相同赌注的游戏里输的原因,老千反被老千误,但是他真的很幸运,因为有当时最历害的几位数学家帮他解围。
# n, K" |0 c& v l: T' v4 U$ U& r) E) m
一旦我们了解到一件事发生的机率,下一步就是想到该事件发生的「比」。如果说机率所描述的是一椿希望发生的事件与所有事件间的关系,则比所描述的则是希望发生的事件与不希望发生的事件间的关系。
, {4 L' {1 p* F# X4 h2 `. C就传统而言,比通常被认为是「不发生」该事件的比。这或许是你在进DC玩任何游戏时,最先想知道的吧!
2 g( E; A: O! A' l* Y) N. m' C让我们再拿梅花的例子来说,我们知道它的机率是1/4;四次当中有一次成功的机会,有三次失败的机会,因此,该事件(抽到梅花)真正的比是3(失败的机率)比1(成功的机率)。或许这时候你会皱眉头想一下,「但是一副牌不是有52张吗?3比1的真正意思是什么?」好的,说3比1等於是说39(非梅花的张数)比13(梅花的张数),分数巳被化简过了。 4 }# H' G5 S+ _- g4 E/ X3 g
当你丢一颗骰子,希望丢出2。丢出2的机率是1/6。比率是5比1;这也可以写成5-1。要了解「A-B」等於是说「A比B」。
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比不一定永远是「多少比1」,但是所有的机率都可以写成比。遵守一个原则:把机率写成分数,假设是X/Y。记得,Y是所有可能发生的机率。而X是成功的或是希望发生的机率。所以用Y减掉X,你就可以算出所有你不希望发生事件的数目,然后就可以算出比。发生X事件的比为「Y-X比X」。假设某事件发生的机率为9/35。这不是个漂亮的数字,但我们还是算得出来。该事件发生的比是26比9。习惯上,我们会把它化简成一个较容易了解的形式,即使它不是整数。例如26比9可以化简为2.89比1。 " k" f$ D3 C/ c4 Z; J
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很好的一个课题,Dubo就是需要学习各方面的知识,打下稳固的理论基础,不想盲赌就要努力学习。 |
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