21点：赌场里最可能赢钱的游戏(转）

           小时候人人都有一个赌神梦。长大了我们才知道，哪有逢赌必赢，都是十赌九输。

# t% i5 [; O( d  p- x+ _+ J
想想也是，都赢庄家吃什么。要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错，那里的游
  b; q  |) T% y( r
戏没哪个玩家胜率过了 50%。即便如此，依然总有那么几个人，可以赚的盆满钵
/ A. E2 U6 J4 Q% b; i2 Q
3 ]: m: w8 x, I/ I; A) U" x  T满。他们是职业赌徒，以 21 点（Blackjack）为核心业务。

4 x# i% Y5 y. O& v7 @  p* Q21 点是赌场里最可能赢钱的游戏，也是那里唯一相对公平的游戏，在采取最佳玩法

3 E8 [* a1 \, O; @0 Q* L  A的情况下，玩家胜率高达 49%。不过要想长期赢钱，这 2% 的劣势也无法容忍，高
1 G/ q+ o3 [' X4 Y5 s1 S9 M
端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。
+ p7 N7 \8 c; S2 V: O4 n6 g
* C: _9 m8 |. Q  `! V$ U# l2 x21点怎么玩
虽然各种电影里常有 21 点的场景，但它毕竟只在赌场里流行，实际玩过的人不多，

让我们先来介绍一下 21 点的玩法。
( E7 k3 n: S) o) N5 d  a/ l
这个游戏分庄、玩两方，通常庄家在一张半圆形的牌桌上同时应付各自为战的 5 到
( Q6 m. F6 n/ L* L
  J! O$ a% T! M  ? 7 个玩家，道具就是多副除去大小鬼混在一起的扑克牌。玩家的目标是让自己牌的
5 u; T3 W; ?" L9 c9 F2 @
% d, s# p& Z/ m: u7 A点数和大于庄家，不过这个和如果超过 21 点就直接出局了（也就是爆了）。花牌
7 l9 R1 [1 i6 Z! t4 A* @4 T
算 10 点，A可以根据需要算成 11 分或 1 分。
+ n1 R, g2 E3 ]9 i
( {0 ^0 R& i& M9 C6 ?首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家

可以选择：
1 e) w& t6 O8 z: n
● 拿一张牌（Hit）

/ o# a; O2 p0 B& n' ~: D● 结束拿牌（Stand）

● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）
1 t; J, o* K7 {: B8 J, u' c
7 M( \2 V% X# C● 如果拿到的两张牌相同，玩家可把这两张牌分开，压上另一份同样的赌注，并从
% r$ u8 V+ g. A
庄家处获得另外两张牌，相当于一次同时玩两局（Split）
# B5 ]' B1 M+ n8 O/ M
  R# U; V  U1 s0 `0 f7 K● 认输，投降输一半并开始下一局（Surrender）

1 J  Q9 C# @1 G% [" P" D% ?要注意的是，其中Double、Split、Surrender只能在第一回合选择。有的赌场允许
4 ?* L: ~' b  I" e- C7 v; }$ F+ j2 j
3 J2 s0 m& Z0 o! u Split 之后 Double或者继续 Split，有的赌场则不允许 Surrender。

当所有玩家都结束拿牌后，庄家翻开首回合盖住的牌， 如果点数和小于17就拿牌，
* s( J  ~2 L: i  Y/ e) p! l  @" f/ y" A1 ^
直到点数和大于等于17 ，庄家不 Double、 Split 或者Surrender。如果庄家爆牌，
9 R* Y0 v3 E+ o
. ~7 O0 f" r8 p1 E; w+ \' w1 e5 `所有玩家都获胜。如果庄家没有爆，比庄家点数多的玩家获胜，点数相同的话为
% ^$ l$ Y  D) p" T2 S8 _
平局，点数少就输了。

5 B) G) s/ P& ^" S9 r+ Q# Y1 A$ |当然 21 点还有一些特殊的规则比如保险（Insurance）和Blackjack（拿到一张A
( G) W% P0 b8 v- R
1 Q2 s4 U) g& u和一张10点的牌），这里就不赘述了。
) J0 `5 F$ ?: B1 E1 o+ s- F

高端赌徒如何要牌

可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明，

最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什
$ J3 D* N, h$ ?9 K; O7 d4 |
么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。


上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄
' N# }% k9 R/ |5 p" \$ q
家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前
& q! K4 u9 ~3 r& }0 t9 V
手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的
6 p% d. \+ f$ b3 J" F
. |/ T3 V  o3 O1 \4 n7 R0 `2 K9 n! F话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。
: d! S, q/ j' l0 n8 q" B9 d1 h* H
: b: r, o* L' B/ D剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand，

+ u8 y; h6 ?; M6 N: U! R% w# P% j P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double

（如果规则不允许就Stand）。

仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很

$ V" A- A8 Z+ H有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4

' R) m0 S- v3 V$ s8 w# q# T到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。
4 S1 B" f4 m( y- r6 R+ [- v# e8 b" |  @
3 ?1 P  H5 o3 J* _; S* \为什么会这样？什么时候要牌什么时候不要，概率说了算。不妨让我们先

来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于

17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。

% _1 h/ c8 @9 I4 c如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽
% _& `( G6 z" N+ ?8 d, F
; }, v$ M; D4 m4 J到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），

5 R* J) K' k7 t" M设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：
3 G1 ~' z# Z, M8 ?
& H6 ]1 m$ T6 TF(H16) = 8/13 = 0.61538

当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况：

* d( [  `' l/ Y4 N* O: ~F(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580
: ~+ e6 k: \- O- x" J& G0 D& _1 a
7 b) [1 N9 }! e; R/ e9 Z同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所
( b/ J: R& k( V- p
5 r2 \- R' X( X7 W不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出
- T' }, c. h* r6 y! Z3 w4 {( g
H2—H5 的情况。

那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：

" {- D9 c& n$ l1 @' V, `1 A4 o- O% w2 K" c玩家没爆但是庄家爆牌

* h2 ~6 D% }: A( i# a  R( ~7 D玩家和庄家都没爆但庄家点数小

; W6 ?3 N/ c6 c爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌
9 N! E5 a/ @9 Y: W5 ]' G
为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。
9 d4 a! J2 ]3 x4 E
如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：
3 W" j4 _2 w. U. L5 L7 O) ?& S
7 D; @7 S! ^9 P1 O4 V: m# ?G(H3) = 1/13×G(H2) = 0.07692

" d, q; ]& z: Z. }* m; M类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。

在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：

玩家拿到21点，庄家拿到20~17点

/ _4 i( |/ N: H3 d玩家拿到20点，庄家拿到19~17点

  w/ X7 b; o* F2 h$ s+ D玩家拿到19点，庄家拿到18和17点
6 b7 B- P' E! H6 ?4 D: H7 X
2 w0 E% S' M* T' `9 ]! w9 D玩家拿到18点，庄家拿到17点
2 W3 V5 {/ c0 l9 J/ V
, K3 B5 G; ?  I& K8 n# a9 u5 C玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，
. ?2 _* D3 K& v
: i6 d  ^  p2 J. K因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的

概率为：
$ q3 l& v3 W2 n& U" i$ n% R
P4 = G（H8）×G（17）
/ d5 F4 Z+ D! A/ ?0 W
7 b5 c4 H' t0 A6 E7 U( r同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为
& I( }$ k5 e3 H9 n5 e$ @
2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：
7 T5 _6 L" X$ E$ c! u+ p+ K- b
P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958

3 D# z4 |& H) A& D# u- E: t前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831

1 `" D7 F" b2 @9 _  V3 q: D. {P(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。
) k) H) D7 m: o
5 t+ o) E2 @1 s7 j5 V' o

9 W0 H2 ^+ p/ p3 Y

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