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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑 , p) Z5 y) d/ v
% {( F' M4 ]) x d2 A: ^
我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡
4 q+ w# E* s- S b1 D, W4 o
$ f9 c- t/ Z; f- q, J' z(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的. G- L$ j) S$ O- l1 }7 e+ K
" N7 E) b8 A* J- J& J原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,3 P+ E5 `$ q" r2 u& i
+ k% h/ s7 M s6 M
就算打赌,也要精“打”细算。
1 k' @4 I" C U8 H; R
% e5 T( g6 ]) B E1 }3 ~' J完美的DB" v. S9 l$ p* r
$ y# C0 ]( `% d0 x
/ Q5 U% m1 O; M& ZNBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。4 w# q( Z5 E( o, a7 }
8 `. }) R% s- d4 o粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概+ M5 ^. W2 O3 W! A" p. P
& C, Q$ ?& q3 l: a( M5 _% y& ` G# ]率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我
/ s; k0 K2 W& V" f( _; K+ s, f! d& i& ^) E) T+ ~" Z" u, b. A
们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!& v) J. n7 W1 ~1 h# H$ |1 ]+ R' @' N2 r' S
+ k/ p$ X* f* M0 ~: K. l* G5 a方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,
9 l* A2 @( ?; Z3 g" V6 Z; j3 O$ }& [2 R( e6 g3 Z! ^
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为
( k8 R @9 b, D! n
. `: n6 R/ d) Z2 l+ r3 y正,就会跟我们打赌:
- h! _# W; ?( f6 U8 ]+ J7 @1 L- i4 R1 {" D8 B- {1 M8 R
p * x - ( 1-p ) * y > 0! g. }4 p- l" \6 K
q * x - ( 1-q ) * y > 0+ c9 A# N$ e( J
加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就7 R; v, T% T9 |& `6 D9 U; @5 V
% M5 I" W4 p/ ]1 d是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:
3 [; ^% v9 l7 w2 R
% g9 `! M. e' H, g- o5 T; K+ W. i- ?5 K. {1 h% x, e3 A
' P0 W# h8 @- D) ~8 r, ~看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管) [7 }- R8 S; H4 f
) {' x5 @ m7 f2 o$ S
“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又
3 H: P' k$ ~' r2 j& w, U+ \5 @! f1 m5 m) ^9 T" A5 f
是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?
% W8 e$ k9 m- l3 s1 d9 g/ T: u. ^0 G6 }- G% N
0 |9 s1 M6 o7 X' N3 n
三张卡片的骗局. T7 O- g% o4 T% f8 m6 S; b/ m
5 e! U$ m4 w$ a y. F
1 p% p6 Q4 T. _0 D* H3 M0 S" M这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
# d7 N- f8 t. u0 B% H* Z# M5 ~: O( g/ n' {8 t' ^
红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
+ x+ Q0 R6 ^: R2 \) e( I6 H! J- n( N6 z+ Q4 o# S3 P
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面
3 N: @4 S8 [$ U- `; d3 L9 ^( c- n
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。7 a! x# J1 D9 Q; Y
- k* L( N. Q7 T事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不0 E4 @6 q! }) m/ f/ e
/ u% Y6 {' W' r是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:
% T3 u& m8 Z+ i$ N( B& v* d* g. z
! C" k" Q5 E0 [+ _8 Y1 v. f& f6 M6 y5 C% C8 V
- h! \# c: b0 b, L1 A
! c6 ~7 ]& {! N; ?% d# v
8 P- C4 `: h5 S# [1 {2 x# c当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色
/ l4 ^0 U, F3 Y& e# B$ G# d- P. b+ Z2 }+ U3 A# K
的情形占了2/3。( Z7 S4 F5 f. z9 `2 M
7 ^! E8 {* j% ~) Z1 C$ h
这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这
/ I a, \7 w+ \3 |* _3 G; X$ C( f
个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国, d1 r5 O1 L/ X8 a. ?4 [$ j) s
8 t4 y ]1 Z( V4 H( Q Q数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)$ Y6 g2 C0 J+ a8 v
V- V6 B1 j9 P4 S
称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。2 D4 G" t- K( Y' W, [* F P
3 j. [& V" Z- B( A
如此不平凡的黑桃A$ e( ]" q# \* {/ i$ |' d @
0 m5 K [3 S/ r1 i/ Z; s
有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面
" y+ ?) ]1 o& @6 d1 G
; H" U& S7 G! J! c. e3 L% h0 o& q就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我
/ b N; A- `6 d; o, \
" A1 l i' c- j j还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,
: i) L8 O4 h+ O6 y9 j3 ~/ ^9 W! j3 E: |: Y( v
当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我4 l V$ G3 ^; p4 Z9 P$ L. `
: e/ @$ a y- E: Y# w
还有没有更多的A?”
8 I, k8 o* e( Q# i X
& G4 k8 r, s4 Z7 {$ S很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人4 G9 S7 M" J5 J7 x/ t& X
$ ]% t& p+ x @7 A/ U2 F5 S; M/ D9 o
不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:& T& ^* L" V7 u/ B0 N4 u. L& x# N2 P4 g
4 x4 k# C+ l4 X/ I0 M& ~没有A的情形:C(48,13); Z% D+ a6 D1 @# a' y
2 I: d5 H- M' s; i" n2 e; o. L. ~8 @至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)
8 p- }6 ~! e0 m6 t; r! ^; O) J
. w2 E9 W) E. P7 }+ C# _: C% ?恰好有1张A的情形:4*C(48,12)
) Z/ Y( f# u$ d' }! U
f5 z+ U1 z: s至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
# N: ~& S, t0 B8 |" I8 ?7 B
7 T& y2 y ]9 o* Y+ c8 n事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:
) G) w9 r5 t+ }* b! x
2 W! g* @1 ]3 P! P. G# F2 ~% KP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/
5 S- E" H4 }8 H( d# o(C(52,13)-C(48,13))≈37%
5 I4 @2 J3 C; I. z' ^6 m" b# Q7 S! y5 T% X
这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家( O ?: E% }- i9 X+ O3 \2 A& B$ P0 f
打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,
* S- q" ~. M) H$ z
1 V3 @0 K) q; U( B* B接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:0 y0 [5 M# [0 U8 @; g- y/ G, |
5 }3 \! Q6 p! \7 I; o
有黑桃A的情形:C(51,12)0 ~! [% p; e9 t3 x; p
: y- T1 v$ ]! B3 O) ~1 Z; c没有其它A的情形:C(48,12)% ]$ p6 l6 r# `& J
8 X3 N2 ~' X* v+ m; V5 u
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)% @2 G# P9 i* P" y
& B5 Z" o! d% `( V' r
事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:1 v9 G+ Y% O$ P0 ?! B- ?4 T. `
" T t# N1 c( q9 P( U" a; aP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。
8 C+ {/ g5 R6 d3 U! o4 y/ V% @8 a' z- `
掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议$ g1 u1 {5 j- O7 \: ~5 C
9 ~0 ? [1 W* A0 T& p& b/ [. V
在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道3 O1 b% L1 [: W9 Z3 n8 K- X$ Q
$ S+ S0 B2 U9 w. n你是传说中的死理性派!
* N' T) A8 Q, s/ J! v
( G( D2 L5 {. C
$ Z5 q3 o0 @$ r3 R) X, h9 p; `8 C( D% J! s( u1 l' D
$ i1 N( q0 u4 L% d) E3 `
2 D3 L! \2 G+ y$ N( O6 J
: J/ H! Z+ ? m( W5 b1 m/ R$ p% ]0 {% n9 b/ D- J
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