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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑
+ K# n7 v$ o/ m: q1 r
5 g! o( ]# e* R8 L 我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡
( @! ]9 N/ C7 ?
. e( H# F3 W- P7 Q(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的
; R* ?3 J$ ^1 \ `) ]
7 A) S1 z! U, f' \" a2 h; F! `原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,1 ^* `3 t8 j! `0 {0 }8 P( Q+ M2 I
' d1 ^$ ]9 R4 W就算打赌,也要精“打”细算。2 i' D* V2 _" Z# P1 C& N8 @
: v" S. p" _( a3 n0 r9 e& @完美的DB8 w4 R; E9 q9 {. C6 P; `
+ R- I( m; ~0 e- |& i$ L( e9 x
$ M( O' E. O2 Z* e6 v ]
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。 W0 @" {7 c, H
! i; y) t& U, c) l粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概
' L( h7 t1 l+ N+ l: I- K- Q
# \1 o$ f* U7 J( G* z9 K) `0 t率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我
2 V8 `( O. o( b( s( | @
0 ^2 d' D2 @3 S" A们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!
6 d: L3 f( |7 ~1 h. k' m* l; Z. k: B# }
+ }4 h3 g8 F% U8 v* o0 T, P方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,
7 Y% L- T7 W( m0 j+ U" M1 d6 p1 @ g
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为
2 A6 {8 W! Y9 m) o4 \
% _) s5 _9 g8 `" Q, L# L* ~正,就会跟我们打赌:2 J! p; i) L( ^4 l* P2 n: {
' G4 y A, ]% N+ |% C2 y
p * x - ( 1-p ) * y > 0
/ }2 _7 o* W/ iq * x - ( 1-q ) * y > 0. ~2 @! Y# }6 g U6 R( [
加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就
8 Q5 e+ H( O1 r: s: \$ v E1 c# Z! S# R& ?% o
是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:
* Y: `/ q; O% b/ O
5 `+ W: {+ s: h# G- Y& v a
* I7 `. _! ~8 i. }! {2 \8 X0 L# L# Q" N
看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
# k" L) s# D- D
/ O( E4 y1 x1 M) b“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又
$ s& }* j2 t& [2 f- A d$ ]
9 E F! ~" H. c4 L1 W6 ]& Y4 u+ X是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?1 }- K9 r- s0 R% Z
$ ?% [- U$ W! R9 l( Y
0 d" L4 E# V; S三张卡片的骗局, }* ]: J' T% u [* u( `
1 T- \( x1 L' c+ V! n: r' v; ^" u5 j4 b! u0 q8 p* Y" f" x
这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
* e/ f# `4 \/ C" v8 E r: X% I2 z+ c2 n8 U1 [2 P0 h, _
红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
T* }- u8 f" l" O
4 v8 f, n3 @5 k7 j( C, e. w放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面
, L4 p$ F7 [+ F$ |9 s' Y4 c& U1 g8 b4 R
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。5 d9 H! p; ~7 P
5 A2 u9 Z7 R! U; }& T e6 K事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不' r8 \( x* X5 |8 J! |. h
2 ~& N B. y# \( L+ }% x' K是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:
& v5 X+ y/ C. A" I; S5 [3 {4 x1 y6 `* w9 M- O0 z* @
) ?( r) o F& u8 u4 F& z
3 \: l/ J" P( d) W" n# F! t8 ~3 T2 \# t/ {7 L% E
1 k- D, o8 R# F6 g
当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色
# U, M8 @* I. H) o% F! f3 W1 ^6 Z/ M. R+ ~- `5 l
的情形占了2/3。. x3 M/ K \) X0 L2 ?2 p# M! n8 d
8 M, P% m) o0 F* n; W
这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这
) @8 X* ?* |+ |4 `: t8 O6 u$ N8 U
/ h+ T' F" J% R! P个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国
1 A; `: i/ c+ o# I( H* v7 p3 o9 w3 |" }2 I& A6 i# B
数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)" p4 _5 G8 ~6 B, g0 h# H; l; ?; Z. o
9 K/ i6 e3 H$ G6 ~9 z& x称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。* D* T, ~* P+ C1 l1 A( I/ I
+ z1 y( C4 H# c9 R, _$ p: Q% d5 k如此不平凡的黑桃A
, H: F f/ o; c3 ^" q# N0 U U
, G( B- O* x& g6 n5 O有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面- ^$ z' D+ r2 Y! K. f* k5 ~0 n
- M" C- {9 j& o+ @3 s
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我
0 S: m5 X, u" L* L1 J
, v5 U' m7 S; x2 e) k! Z还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,0 A' K5 L+ h% K$ X7 n; G* D+ }
- ?) M" g8 w; A8 Q3 @" i当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我
# b! B) x: @' J1 v0 D4 \. d) g0 M; v5 D& {. y5 o
还有没有更多的A?”! e7 K( b. H4 A5 m
2 @% G/ A' Q3 G" B& ]很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人. _/ z# E$ h) d y
; k! z5 s- A3 ~9 w$ ?3 l
不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:. u9 {# T: Y$ s9 Y: }$ e
. w% w5 i9 N* q* k" v8 U
没有A的情形:C(48,13)1 H; |* F" @8 k6 n+ l7 |6 j
8 y, |9 g3 Y; A3 G' O+ S至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)
/ {3 Z9 N, Y0 T: b' L9 R- E. H; G$ B% `8 p! Q' i
恰好有1张A的情形:4*C(48,12)
. _+ S1 v9 ~% s8 \9 X& U+ _4 @/ w4 R- I- Y- y/ U: K
至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
% D' P( u+ D7 E' k; h1 Q9 X3 P& X0 D: P' b3 e# G2 J
事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:
@# H7 R9 Y( h3 R
9 `. x* a; o9 N3 S1 f- [P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/9 F; t2 R; J, P& y
(C(52,13)-C(48,13))≈37% |6 n8 o4 T( L6 _
& j5 ^0 L; X* e+ ~5 [7 O
这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家4 S& R& ~. Z9 `- D$ W
打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,0 k5 C; K, V% S9 I: C8 [
. ?7 h2 @) V) v; p; c( H接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:& S3 f7 ?& i, v. g
5 J6 w# p& M3 N, T
有黑桃A的情形:C(51,12)
8 b' u, D8 R9 s4 ^8 T! Y* S2 k; }+ H( p/ q& A1 x2 L
没有其它A的情形:C(48,12): f/ K Z- e' R! g' k+ K- _, b, Y
& C* H# M/ d7 v i% o还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)
, A! m( W+ N( n6 v0 l: e6 [" v% u. v( f, u1 [
事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:1 j3 Z8 X% @% P x
/ M5 e+ N' H* b5 M. i& z9 {% XP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。3 N& I' ?7 _! e" f. U
8 S3 g; q x/ G$ ]* p5 C; R
掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议: I1 o8 i" k- A/ s/ H
( o1 ^$ z* P2 ?, P2 y: H
在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道6 G; X# `5 H' I
6 r" Q' @2 C+ a* }% L
你是传说中的死理性派!1 G; |% Y6 y& j, l
, @& e9 h2 p$ n5 ~# K0 ]0 m: Z# H
4 T- t5 v6 u1 @
8 e, {2 G/ T7 F, @
7 i5 Y' o' }3 J) N" n# A
# b( p/ u0 D- x, U4 r ^ F+ y6 m/ W2 V* p6 H
. m/ Q. [! G( e6 m* g& B: p3 t
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