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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑
4 a' D/ h" _7 S4 P1 |# \3 E: U* E! d, L! F
我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡
% Q" @. X, g I& B
3 T9 N: z$ f( k: z F. Q- `, G! E% p(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的 b" ^0 Y+ q4 p6 _# ]+ o! L
' ?% X ]2 t- H1 r
原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,
0 u- u. B A B2 g* t/ q9 q* _2 m* S% d8 E3 i
就算打赌,也要精“打”细算。6 h) k) y2 `$ o, s
& \4 r) f, U6 u1 ^+ G. [% l) r$ ^' W
完美的DB
/ r# [# X; D& u. K9 w+ b! K! Z& `# w o) } Q% s# w `
; Y" f, |1 [. nNBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。0 ] l6 \7 v; G& K. d8 q) b9 @* b
" S8 l% i: a/ |) F
粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概1 k, d/ u% T# g
0 N) Q% a) Q0 s! i$ A
率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我 a C8 t9 K* a8 T' ~
4 Q$ L* v. G' s, C n
们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!
0 M6 L+ {7 N' S" L& X. T1 H1 n. h# I8 t# \# V4 J
方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,
$ o8 T" f( L. u" q" ]" _+ s7 D; d( G; G m+ W r
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为
- ]/ X }* o. X4 s; i
2 g% p" @5 c) e2 L正,就会跟我们打赌:9 X7 O/ s& `& a0 `2 J
9 j0 X! S8 f0 M0 g5 {, ~1 Y
p * x - ( 1-p ) * y > 0
4 @; ~" l: ?; [( l% Z2 s# zq * x - ( 1-q ) * y > 0& q" W; f0 s7 Z& T
加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就
5 _) y$ h. X! w, U5 G. v" B8 k# d4 C& H! v) _+ l1 ^
是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:3 g& l# r4 Z$ _, _2 [( T4 P
/ ~" R& N. f0 N, U( s G! N
1 V4 Z. C1 y$ Y; x- D0 X* v, |5 `( ^& J7 f! F o( f
看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管% G& f, {9 D+ T; K
0 D' g$ d5 R- i: Z( I“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又
" A; l# I2 B; c$ V! v9 _$ `( N0 C! z; h+ ^
是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?) c% Z6 A. P- C6 b1 u( w" G
5 X0 s: `9 Z7 T8 I9 W/ x$ S# k4 E B2 g) g+ y
三张卡片的骗局
7 N# L& M; {, }6 j$ y% V* w
+ y3 Y8 r- f( F( r9 E2 [8 [2 j( T% p: I& ~' ~9 Z2 f$ \
这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
+ }' M# p" {+ Z" ~0 o) v9 L! K$ {& v) a6 `- I& ^, v
红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
! _6 W& d5 F7 Y3 B) g, K; I! n# o6 o2 [& ~' _! C, L0 q4 D
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面8 P2 v9 f3 X# x/ w
/ M; b( ~/ `5 Q u8 P
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。
) s6 D9 C {- V# s- h) v8 O* T" {: u# ]* y6 S4 }
事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不
x8 K9 M, O4 i# }( Y) T, `1 [) E6 U. ]; S
是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:, z$ W: i f. t
@ a* n! V& ~4 t* F
, b$ n- d/ o6 a1 ?
9 s; y9 z. L' m( j( `( K9 M. F! H/ [) w
) @: ]8 I3 _+ l7 W当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色% [- L$ Q% E: q( e' |2 q- n( a# {
+ `+ L* k; ?7 ?0 h的情形占了2/3。
+ p7 x" m* U% g& A) G. J5 m& l+ u( B, G
这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这" [ d3 u! j6 g3 A- ~" e
1 M' T0 ~' C1 t0 a* s- h2 u
个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国
" g, e/ I7 w, `* K2 [' h5 x. D3 Y; T' L% s& K) C
数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)
. \6 ^( J% G+ t6 R: L
( y6 D+ D5 b! W( O6 o+ |4 H' G5 a称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。- z( D) D9 K3 E2 P" H2 K5 q3 n2 f
( |6 D3 n5 z" `$ V `4 K: M8 \
如此不平凡的黑桃A. b& s6 B' V- e+ U
8 E9 b P5 ~) n* c9 M
有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面
, C8 w% f Z f; x& Y, t, W9 r8 @1 L6 C0 U# V& ~: V- I- G# P7 C
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我, r9 _, L+ }6 M/ o0 j
8 Y; x- Z8 b: _4 @
还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,: l! Y# N; t- p, b: s
/ x, Z; D* X- j% a+ B& M8 q0 @0 _7 Q当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我: v' E8 c- @( [
3 `3 C% A/ v2 L5 F& T还有没有更多的A?”
1 o4 Q7 a1 ]& D- p1 c8 R. Z, o
' F. s' f* `% o2 j- k) |3 [很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人1 r- }. u1 z1 d! s
& J3 o/ R, H+ G- o% p# S9 f
不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:
0 o2 Y5 S) N' ~8 m7 v' u4 W3 R" Y8 r6 R8 q g% W
没有A的情形:C(48,13)" W- g' j2 I/ ?9 e
( i) R$ X9 y- H! |/ g- Y- @* T# U$ u
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13); c g: Z, c1 x* n6 A
3 R! [- ~5 x% W3 o3 F/ e! S
恰好有1张A的情形:4*C(48,12)
/ J) ~& p. K, s; `7 O; K1 s/ J, B- U, Q
至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
! t$ J5 p5 c& C9 s5 S
& ^; C" T+ [9 T9 ]事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:
# D( H: M( v! b( r4 F. t, E5 i% [& Q" l! u8 q6 T* E
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/
& O# r( V8 G; k* H% U(C(52,13)-C(48,13))≈37%
$ ]& w+ H1 k$ W g! o
, J+ f# q. t( t4 z( { x% B这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家% Q- H& K) [/ K8 l5 n1 ?3 K; [* g/ F
打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,
^" W- w* G% \* U
, t, {2 ~; V. I. k- t4 E& A接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:) U! ]* Z8 j" s! R) b) p* ]
* F, l, I2 r- j5 ]
有黑桃A的情形:C(51,12)* p# Y O5 M1 |: E7 `: b3 h1 O4 Y
) i5 J* y; e8 m6 M7 i5 b没有其它A的情形:C(48,12)! E6 {7 {3 p0 l1 Z1 {& x- ]
& v" \# D' B/ }- v, S1 k6 a- c还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)0 g* K1 M2 \1 [1 q$ V: @
2 o3 ]9 \ P% A- b
事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:! r$ F& r2 q: a
+ p( V, p4 I! LP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。* P5 S& U( q5 M* S- {
3 V# f) [$ W7 i0 e
掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议
! x) g4 ]: c" \' \: P7 J& _0 _ i
: A. R. J1 S% T: [# ?在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道
6 S3 q- R8 b( k' N7 S7 c! O) n7 z/ T; k9 U# W0 c% A5 ?
你是传说中的死理性派!
3 V, D0 d/ `+ O9 S3 B8 [& ~/ k" W3 n* U) P
$ B% d' m( Q: a: L+ U7 v3 Y; i0 F$ d1 V9 k7 Q' F' R
4 x2 C3 y" c' a: A9 q
; g% {1 _4 a/ j" K6 q3 S" F4 Z3 S
4 w3 H2 m( O' W3 @' \% P0 s& ~- u8 v& C0 [0 }( k. h
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